7.Тройной интеграл.

Предел при 0 интегральных сумм, не зависящий от способа разбиения области V, называется тройным интегралом от функции f(x, y, z) по области V:

Пусть правильная в направлении Oz область V ограничена непересекающимися поверхностями z=z₁(x,y) и z=z₂(x,y), а с боков – цилиндрической поверхностью F(x,y)=0 с образующими,параллельными оси Oz, т.е. V={(x,y)S,z₁(x,y)zz₂(x,y)}, где S-проекция V на плоскость Oxy

{Т}Пусть:1) в области V={(x,y)S,z₁(x,y)zz₂(x,y)} задана функция f(x,y,z), интегрируемая по Риману,т.е. существует тройной интеграл _V fdV; 2)существует повторный интеграл _SdS _z1(x,y)^z2(x,y)fdz.Тогда справедлива формула:

_V f(x,y,z)dV=_Sdxdy _z1(x,y)^z2(x,y)f(x,y,z)dz. После того как вычислен внутренний интеграл по переменной z(при этом x и y предполагаются постоянными):

_z1(x,y)^z2(x,y)f(x,y,z)dz=G(x,y,z) _z1(x,y) ^z2(x,y)=G(x,y,z₂(x,y))-G(x,y,z₁(x,y))=g(x,y). Вычисление тройного интеграла сводится к вычислению двойного интеграла

_Sg(x,y)dxdy

8.Криволинейная система координат.

Система координат-это взаимнооднозначное отображение точки n-мерного пространства в упорядоченный набор n действительных чисел.

Полярная система координат:

x=cos y=sin₀

x=cos y=sin₀  y/x=tg₀ или y=xtg₀

=₀, x=₀cos

y=₀sin

Полярная система координат используется тогда,когда область интегрирования совпадает с координатными линиями.

Координатная сетка в R³ состоит из множества взаимноперпендикулярных плоскостей,каждая из которых  какой-либо из осей.

Криволинейная система координат в R³ строится в результате пересечения криволинейных координатных поверхностей.

Цилиндрическая система координат:

x=cos

y=sin (,,z^/)

z=z^/

=₀=> x²+y²=₀²-круговой цилиндр,>0

=₀=> y=xtg₀-полуплоскость,проходящая через плоскость OZ

z=z₀-плоскость,OZ.

Сферическая система координат:

x=rsincos

y=rsinsin

z=rcos

r=r₀

x=r₀sincos

y=r₀sinsin

z=r₀cos

x²+y²=z²tg²₀-конус с вершиной в начале координат,

=₀

y=xtg₀-полуплоскость,проходящая через OZ.

11.Криволинейный интеграл 1-го рода.

Пусть на некотором множестве,где задана кривая Г,определена непрерывная функция f(x,y,z) определенный интеграл _α^βf(x(t),y(t),z(t))|r^/(t)|dt

Называется криволинейным интегралом 1-го рода от f(x,y,z) по кривой Г={r(t),αtβ} и обозначается _Гf(x,y,z)dS,где S-элемент дуги кривой.Для вычисления криволинейного интеграла 1-го рода уравнение заданной кривой подставляется под интегральную функцию,а вместо dS записывается соответствующий элемент дуги кривой.

Физическое приложение:если в каждой точке кривой определена линейная плотность вещества(заряда), равная f(x,y,z),то полная масса(заряд) кривой m=_Гf(x,y,z)dS.

12.Св-во независимости криволинейного  1-го рода от ориентации кривой:криволинейный интеграл не зависит от ориентации кривой,т.е.

_Гf(x,y,z)dS=_Г^- f(x,y,z)dS

{Д}_Гf(x,y,z)dS=( _α^βf(x(t),y(t),z(t)))= _α^βf(r(t))| r^/(t)|dt=

|t=α+β-τ|

= |dt= -dτ |= -_β^αf(r(α+β-τ)|r^/(α+β-τ)|dτ=

|t=α, τ=β|

|t=β, τ=α|

= _α^βf(r(α+β-τ)|r^/(α+β-τ)|dτ=_Г- f(x,y,z)ds.