13.Криволинейный интеграл 2-го рода.

Определенный интеграл αβF(t)dr= _α^β[P(x(t),y(t),z(t))x^/(t) +Q(x(t),y(t),z(t))y^/(t) +R(x(t),y(t),z(t))z^/(t)]dt- называется криволинейным интегралом 2-го рода от F по кривой Г и обозначается: _ГFdr=_ГPdx+Qdy+Rdz.

Физический смысл: пусть векторное поле F представляет собой силу, действующую на частицу, двигающуюся вдоль кривой Г. В результате криволинейный интеграл представляет работу перемещения частицы вдоль кривой Г.

14.Зависимость криволин.  2-го рода от ориентации кривой.

_Г Fdr= -_Г- Fdr

_Г F(r)dr=_α^βF(r(t))r^/(t)dt=|t=α+β-τ |=

|dt= -dτ |

|t=α,τ=β |

|t=β,τ=α |

|r/(t)=dr/dt= |

|=-dr(α+β-τ)/dτ|

|=-r/(α+β-τ) |

=_β^αF(r(α+β-τ))r^/(α+β-τ)dτ= -_α^βF(r(α+β-τ))r^/(α+β-τ)dτ=

= -_Г- F(r)dr

15.Определения:

Граница-это точки,для которых любая -окресность имеет точки,принадлежащие D и точки,не принадлежащие D.

Область называется связной,если любые 2 ее точки можно соединить кривой,лежащей в множестве.

Открытое и связное множество называется областью.

Область D называется односвязной,если любая замкнутая кривая в области D ограничивает область D^/,целиком лежащую в D.

Направление движения М при увеличении t называется ориентацией кривой.

19.Потенциал векторного поля.

(U)/(x)=P(x,y), (U)/(y)=Q(x,y);

Функция U-полный дифференциал подынтегрального выражения и называется потенциалом векторного поля F={P,Q},а само поле называется потенциальным.

Пусть U(x,y)-потенциал поля F={P,Q}.Возьмем в области D какую-либо замкнутую кривую Г:{x=x(t),y=y(t),αtβ} или кратко r=r(t), αtβ.

P(x,y)dx+Q(x,y)dy=_α^β(P(x(t),y(t)x^/(t))+Q(x(t),y(t)y^/(t))dt

=|P=(U)/(x),Q=(y)|=_α^β(=(U)/(x)(x(t),y(t)x^/(t))+((U)/

/(y)x(t),y(t)y^/(t))dt= _α^β(U(r(t)))/(t)dt=U(r(t))_α^β=U(r(β))-U(r(α))=0.

18.Условия потенциальности векторного поля.

Т.Для того,чтобы непрерывно диф. в D векторное поле F={P,Q} было потенциальным,необходимо,а в случае односвязности D и достаточно,чтобы (x,y)D выполнялось равенство: Q/x=P/y.

Необходимость:пусть F={P,Q}-потенциальное полепо условию независимости криволин.  2-го рода от путиP=U/x,Q=U/y.продиф. 1-е по y,а 2-е по x:P/y=²U/yx, Q/x=²U/xy.По теореме о равенстве смешанных производных:U_yx=U_xyQ/x=P/y.

Достаточность:Пусть D-односвязная область и выберем в D замкнутую кривую Г,ограничивающую обл. D.Тогда справедлива формула Грина:_Г Pdx+Qdy=_D/(Q/x-P/y)dxdy.т.к. по условию Q/x=P/y,то Q/x-P/y=0_Г Pdx+Qdy=0,т.к. Г-любая,то последнее равенство по условию независимости криволин.  от путиF-потенциально.