Перпендикулярные прямые

Две прямые на плоскости называются перпендикулярными, если при пересечении образуют 4 прямых угла.

В аналитическом выражении прямые, заданные линейными функциями   и   будут перпендикулярны, если выполнено условие  . Эти же прямые будут перпендикулярны, если  . (Здесь   — углы наклона прямой к горизонтали)

Для обозначения перпендикулярности имеется общепринятый символ:  , предложенный в 1634 году французским математиком Пьером Эригоном.

[Править]Построение перпендикуляра

Построение перпендикуляра

Шаг 1: (красный) С помощью циркуля проведём полуокружность с центром в точке P, получив точки А' и В'.

Шаг 2: (зелёный) Не меняя радиуса, построим две полуокружности с центром в точках A' и В' соответственно, проходящими через точку Р. Кроме точки Р есть ещё одна точка пересечения этих полуокружностей, назовём её Q.

Шаг 3: (синий) Соединяем точки Р и Q. PQ и есть перпендикуляр к прямой АВ.

[Править]Координаты точки основания перпендикуляра к прямой

A(xa,ya) и B(xb,yb) — прямая, O(xo,yo) — основание перпендикуляра, опущенного из точки P(xp,yp).

xo = (xa*(yb-ya)^2 + xp*(xb-xa)^2 + (xb-xa) * (yb-ya) * (yp-ya)) / ((yb-ya)^2+(xb-xa)^2);

yo = (yb-ya)*(xo-xa)/(xb-xa)+ya.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости

ПРИЗНАК ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ.  Если прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна двум прямым в этой плоскости, проходящим через точку пересечения данной прямой и плоскости, то она перпендикулярна плоскости.

Доказательство: Пусть а прямая, перпендикулярная прямым b и c в плоскости  . Тогда прямая а проходит через точку А пересечения прямых b и c. Докажем, что прямая а перпендикулярна плоскости  . Проведем произвольную прямую х через точку А в плоскости   и покажем, что она перпендикулярна прямой а. Проведем в плоскости  произвольную прямую, не проходящую через точку А и пересекающую прямые b, c и х. Пусть точками пересечения будут В, С и Х. Отложим на прямой а от точки А в разные стороны равные отрезки АА1 иАА2. Треугольник А1СА2 равнобедренный, так как отрезок АС является высотой по условию теоремы и медианой по построению (АА1=АА2). по той же причине треугольник А1ВА2 тоже равнобедренный. Следовательно, треугольники А1ВС и А2ВС равны по трем сторонам. Из равенства треугольников А1ВС и А2ВС следует равенство углов А1ВХи А2ВХ и, следовательно равенство треугольников А1ВХ и А2ВХ по двум сторонам и углу между ними.

35)теорема о трёх перпендикулярах

О ТРЕХ ПЕРПЕНДИКУЛЯРАХ. Если прямая, проведенная на плоскости черезоснование наклонной, перпендикулярна еепроекции, то она перпендикулярна наклонной. И обратно: Если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной.

Доказательство: Пусть АВ - перпендикуляр плоскости  , АС - наклонная и с - прямая в плоскости  , проходящая через основание С. Проведем прямую СA1, параллельную прямой АВ. Она перпендикулярна плоскости  . Проведем через прямые АВ и СA1 плоскость  . Прямая сперпендикулярна прямой СA1. Если она перпендикулярна прямой СВ, то она перпендикулярна плоскости  , а значит, и прямой АС. АНАЛОГИЧНО. Если прямая с перпендикулярна наклонной АС то она, будучи перпендикулярна и прямой СA1 перпендикулярна плоскости  , а значит, и проекции наклонной СВ. Теорема доказана.

36) признак перпендикулярности плоскостей

ПРИЗНАК ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПЛОСКОСТЕЙ. Если плоскость проходит через прямую перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Доказательство: Пусть   - плоскость , b - перпендикулярная ей прямая,  - плоскость проходящая через прямую b, и с - прямая по которой пересекаются плоскости   и  . Докажем, что плоскости   и  перпендикулярны. Проведем в плоскости   через точку пересечения прямой b с плоскостью  прямую а, перпендикулярную прямой с. Проведем через прямые а и bплоскость  . Она перпендикулярна прямой с, так как прямые а и bперпендикулярны, то плоскости   и   перпендикулярны. Теорема доказана.

37) связь между параллельностью и перпендикулярностью плоскостью

Определение 3.3. 

Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой из этой плоскости.

Т еорема 3.1. Признак перпендикулярности прямой и плоскости.

Если прямая перпендикулярна каждой из двух пересекающихся прямых плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Доказательство

Сформулируем некоторые теоремы, устанавливающие связь между параллельностью и перпендикулярностью в пространстве.

Т еорема 3.2. 

Плоскость, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и другой.

Чертеж 3.2.2.

Т еорема 3.3. 

Две прямые, перпендикулярные одной плоскости, параллельны между собой.

Т еорема 3.4. 

Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных плоскостей, то она перпендикулярна и другой.

Т еорема 3.5. 

Две плоскости, перпендикулярные одной прямой, параллельны между собой.

Чертеж 3.2.3.

Докажите эти теоремы самостоятельно, используя такое свойство: если векторы   коллинеарные и   то 

О пределение 3.4. 

Перпендикуляром, проведенным из данной точки на данную плоскость, называется отрезок прямой, перпендикулярной данной плоскости, который соединяет данную точку с точкой плоскости.

38) двугранный угол