Двугранный угол

О пределение 3.8. 

Двугранный угол – это часть пространства, заключенная между двумя полуплоскостями, имеющими одну общую границу.

Чертеж 3.6.1.

Полуплоскости α и β, образующие двугранный угол, называются его гранями (чертеж 3.6.1). Общая прямая этих граней называется ребром двугранного угла. Пусть точки A и B взяты на ребре двугранного угла. Двугранный угол обозначается двумя буквами: угол AB. Иногда двугранный угол обозначается четырьмя буквами, из которых две средних обозначают точки ребра, а две крайние – точки, взятые на гранях. Пусть M   α, N   β (чертеж 3.6.1), тогда двугранный угол обозначается так: угол MABN. Выберем на ребре AP двугранного угла произвольную точку C и проведем через нее плоскость α перпендикулярно ребру AP (чертеж 3.6.2). Плоскость α пересекает грани двугранного угла по лучам a и b, которые образуют некоторый угол величиной φ. Этот угол называется линейным углом двугранного угла. Легко доказать, что величина линейного угла не зависит от выбора точки C на ребре AP. Возьмем на ребре AP точку D, отличную от C, и проведем через нее плоскость β || α. Пусть плоскость β пересекает грани двугранного угла по лучам a₁ и b₁. Согласно теореме о следе a₁ || a, b₁ || b, поэтому полученные в сечении углы равны. Величина двугранного угла равна величине его линейного угла. Если φ – величина двугранного угла, то 0° < φ < 180°.

Чертеж 3.6.2.

О пределение 3.9. 

При пересечении двух плоскостей образуются четыре двугранных угла. Величина меньшего из этих двугранных углов называется углом между этимиплоскостями.

Если плоскости параллельны, то угол между ними равен 0° по определению. Если φ – величина угла между двумя плоскостями, то 0° < φ < 90°.

Угол между плоскостям

Угол между плоскостями

Пусть плоскости   и   заданы соответственно уравнениями   и   . Требуется найти угол   между этими плоскостями.

Плоскости, пересекаясь, образуют четыре двугранных угла (рис. 11.6): два тупых и два острых или четыре прямых, причем оба тупых угла равны между собой, и оба острых тоже равны между собой. Мы всегда будем искать острый угол. Для определения его величины возьмем точку   на линии пересечения плоскостей и в этой точке в каждой из плоскостей проведем перпендикуляры   и   к линии пересечения. Нарисуем также нормальные векторы   и   плоскостей   и   с началами в точке   (рис. 11.6).

Рис.11.6.Угол между плоскостями

40) параллелепипед и его свойства Параллелепи́пед (от греч. παράλλος — параллельный и греч. επιπεδον — плоскость) — призма, основанием которой служитпараллелограмм, или (равносильно) многогранник, у которого шесть граней и каждая из них параллелограмм.

• Параллелепипед симметричен относительно середины его диагонали.

• Любой отрезок с концами, принадлежащими поверхности параллелепипеда и проходящий через середину его диагонали, делится ею пополам; в частности, все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.

• Противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны.

• Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений.

41) призма и её свойства |Викисклад=Category:Prisms (geometry) |Викисловарь=призма }} Призма (от др.-греч. πρίσμα (лат. prisma) «нечто отпиленное») — многогранник, две грани которого являются конгруэнтными (равными)многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а остальные грани — параллелограммами, имеющими общие стороны с этими многоугольниками. Или (равносильно) — это многогранник, в основаниях которого лежат равные многоугольники, а боковые грани — параллелограммы

• Основания призмы являются равными многоугольниками.

• Боковые грани призмы являются параллелограммами.

• Боковые ребра призмы параллельны и равны.

• Объём призмы равен произведению её высоты на площадь основания:

• Площадь полной поверхности призмы равна сумме площади её боковой поверхности и удвоенной площади основания.

• Площадь боковой поверхности произвольной призмы  , где   — периметр перпендикулярного сечения,   — длина бокового ребра.

• Площадь боковой поверхности правильной призмы  , где   — периметр основания призмы, ,   — высота призмы.

• Перпендикулярное сечение перпендикулярно ко всем боковым рёбрам призмы.

• Углы перпендикулярного сечения — это линейные углы двугранных углов при соответствующих боковых рёбрах.

• Перпендикулярное сечение перпендикулярно ко всем боковым граням.

1. площадь поверхности и объем Формулы объёма — например, объём куба или объём призмы — и формулы площади поверхности.

2. Элементарная логика.

Все формулы объёма и формулы площади поверхности многогранников есть в нашей таблице.

42)пирамида

• Пирамида — тип многогранников.

• Пирамида — вид архитектурного сооружения в форме пирамиды.

• Энергетическая пирамида — термин, применяющийся в культуре Нью-эйдж и эзотерике.

• Пирамида — официальное название игры в русский бильярд.

• Финансовая пирамида — способ получения дохода за счёт постоянного расширяющегося привлечения денежных средств от новых участников.

• Пирамида — элемент художественной, силовой и пластической акробатики, групповое расположение акробатов, которые, поддерживая друг друга, образуют сложные фигуры.

• Пирамидка — головоломка, прототипом которой был Кубик Рубика.

• Tetra Classic — пирамидальная форма упаковки для жидкостей (молочных продуктов, соков).

Географические объекты:

• Пирамида — остров в составе Алеутских островов.

• Пирамида — русский шахтёрский посёлок на Свальбарде (Шпицберген).

Постройки:

• Египетские пирамиды — архитектурные памятники Древнего Египта.

• Пирамида — один из первых павильонов пейзажной части Екатерининского парка в Царском Селе.

• Фонтан «Пирамида» — фонтан в Нижнем парке Петергофа.

• Пирамиды Голода — пирамиды, построенные из стеклопластика в пропорциях золотого сечения инженером Александром Голодом.

Схемы и диаграммы:

• Пирамида здорового питания — диаграмма, схематическое представление принципа здорового питания.

• Пирамида капиталистической системы — плакат 1911 года.

Названия:

• Пирамида — команда КВН из Владикавказа.

• Пирамида — кинотеатр в Махачкале.

Художественные произведения:

• Пирамида — роман британского писателя У. Голдинга.

• Пирамида — роман русского писателя Л. М. Леонова.

• Пирамида (Кадаре) (англ.)русск. — роман албанского писателя И. Кадаре.

• Пирамиды — роман Терри Пратчетта.

• ПираМММида — фильм.

Площадь поверхности и объём

бъем наклонной призмы

V=S_псa,

где S_пс - площадь перпендикулярного сечения наклонной призмы, a - боковое ребро.    Площадь боковой поверхности наклонной призмы

S_б=P_псa,

где P_пс - периметр перпендикулярного сечения наклонной призмы, a - боковое ребро.    Площадь полной поверхности наклонной призмы

S_п=S_б+2S_осн,

где S_б, - площадь боковой поверхности наклонной призмы, S_осн - площадь её основания.

Прямая призма

   Объем прямой призмы

V=S_оснa,

где S_осн - площадь основания прямой призмы, a - боковое ребро.    Площадь боковой поверхности прямой призмы

S_б=P_оснa,

где P_осн - периметр основания прямой призмы, a - боковое ребро.    Площадь полной поверхности прямой призмы

S_п=S_б+2S_осн,

где S_б, - площадь боковой поверхности прямой призмы, S_осн - площадь основания.

Прямоугольный параллелепипед

   Объем прямоугольного параллелепипеда

V=abc,

где a,b,c - измерения прямоугольного параллелепипеда.    Площадь боковой поверхности параллелепипеда

S_б=2c(a+b),

где a, b - стороны основания, c - боковое ребро прямоугольного параллелепипеда.    Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда

S_п=2(ab+bc+ac),

где a,b,c - измерения прямоугольного параллелепипеда.

Куб

V=a³, S_б=4a², S_п=6a²,

где a - ребро куба.

Пирамида

   Объем пирамиды

где S_осн - площадь основания, H - высота.    Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей её боковых граней.     Площадь полной поверхности пирамиды

S_п=S_б+2S_осн,

где S_б - площадь боковой поверхности прямой пирамиды, S_осн - площадь основания.     Площадь боковой поверхности правильной пирамиды

где P_осн - периметр основания правильной пирамиды, l - её апофема.

Усеченная пирамида

   Объем усеченной пирамиды

где S₁ , S₂ - площади оснований усеченной пирамиды, H - её высота.    Площадь боковой поверхности усеченной пирамиды равна сумме площадей ее боковых граней.    Площадь полной поверхности усеченной пирамиды

S_п=S_б+S₁+S₂ ,

где S_б - площадь боковой поверхности пирамиды, S₁ , S₂ - площади оснований.    Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды

где P₁ , P₂ - периметры оснований, а l - ее апофема.

Цилиндр

   Объем цилиндра

V=p R ²H ,

где R - радиус основания цилиндра, а H - его высота.    Площадь боковой поверхности цилиндра

S_б=2p R H ,

где R - радиус основания цилиндра, а H - его высота.    Площадь полной поверхности цилиндра

S_п=2p R H + 2p R²,

где R - радиус основания цилиндра, а H - его высота.

Конус

   Объем конуса

где R - радиус основания конуса, а H - его высота.    Площадь боковой поверхности конуса.

S_б=2p R L ,

где R - радиус основания конуса, а L - его образующая.    Площадь полной поверхности конуса

S_п=2p R (R+L),

где R - радиус основания конуса, а L - его образующая.

Усеченный конус

   Объем усеченного конуса

где R, r - радиусы оснований усеченного конуса, Н - его высота.    Площадь боковой поверхности усеченного конуса

S_б=p L (R+r),

где R, r - радиусы оснований усеченного конуса, L - его образующая.    Площадь полной поверхности усеченного конуса

S_п=p L (R+r)+p R²+p r²,

где R, r - радиусы оснований усеченного конуса, L - его образующая.

Сфера и шар

   Объем шара

где R - радиус шара    Площадь сферы (площадь поверхности шара)

S=4p R²,

где R - радиус сферы    Объем шарового сегмента

где H - высота шарового сегмента, R - радиус шара    Объем шарового сектора

43) Пирами́да (др.-греч. πυραμίς, род. п. πυραμίδος) — многогранник, основание которого —многоугольник, а остальные грани — треугольники, имеющие общую вершину^[1]. По числу углов основания различают пирамиды треугольные, четырёхугольные и т. д. Пирамида является частным случаем конуса.

• около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр;

• боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы.

• также верно и обратное, то есть если боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы или если около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые ребра пирамиды равны.

44) Усеченная пирамида или конус - это часть, остающаяся после отсечения вершины плоскостью, параллельной основанию.

Объем усеченной пирамиды или конуса равен объему целой пирамиды или конуса минус объем отсеченной вершины.

Площадь боковой поверхности усеченной пирамиды или конуса равна площади поверхности целой пирамиды или конуса. минус площадь боковой поверхности отсеченной вершины. Если необходимо найти общую площадь усеченной фигуры, тогда площадь двух параллельных оснований добавляется к площади боковой поверхности.

Существует и другой метод определения объема и площади поверхности усеченного конуса:

 

V =1/3 π h(R²+Rr+r²),

площадь боковой поверхности конуса S=π l(R+r),

общая площадь поверхности S_о=π l(R+r)+πr²+πR²

 

 

 

 

 

 

 

Пример1. Определение площади необходимого для изготовления материала для абажура. (Расчет площади боковой поверхности конуса).

Абажур имеет форму усеченного конуса. Высота абажура равна 50 см, нижний и верхний диаметры - 40 и 20 см соответственно.

Определить с точностью до 3х значащих цифр площадь материала, необходимого для изготовления абажура.

Как было определено выше, площадь боковой поверхности усеченного конуса S=π l(R+r).

Поскольку верхний и нижний диаметры усеченного конуса равны 40 и 20 см, то из рис. выше находим r=10 см, R=20 см и

l=(50 ²+10²)^1/2=50,99 согласно теореме Пифагора,

Следовательно, площадь боковой поверхности конуса равна S=π 50,99(20+10)=4803,258 см² , т.е. площадь необходимого для изготовления абажура материала равняется 4800 см² с точностью до 3х значащих цифр, хотя, конечно, сколько на самом деле уйдет материала зависит от кроя.

 

Пример 2. Определение объема цилидра, увенчанного усеченным конусом.

Б ашенный охладитель имеет форму цилиндра, увенчанного усеченным конусом, как показано на рис. ниже. Определить объем воздушного пространства в башне, если 40 % объема занято трубами и другими структурами.

Объем цилиндрической части

V=π R²h=π(27/2)²*14=8011,71 м³

Объем усеченного конуса

V=1/3 π h(R²+Rr+r²), где

h=34-14=20 м, R=27/2=13,5 м и r=14/2=7 м.

Т.к. R=27/2=13,5 м и r=14/2=7 м.

Следовательно, объем усеченного конуса

V=1/3 π 20(13,5²+13,5*7+7²)=6819,03 м³

Общий объем башенного охладителя V _общ. =6819,03+8011,71=14830,74 м³.

Если 40% объема занято, объем воздушного пространства V=0,6*14830,74=8898,44 м³

45) Пра́вильный многоуго́льник — это выпуклый многоугольник, у которого все стороны между собой равны и все углы между собой равны.

Определение правильного многоугольника может зависеть от определения многоугольника: если он определён как плоская замкнутая ломаная, то появляется определение правильного звёздчатого многоугольника как невыпуклого многоугольника, у которого все стороны между собой равны и все углы между собой равны.

Теорема 9.4. 

Правильный многоугольник является вписанным в окружность и описанным около окружности, при этом центры этих окружностей совпадают.

Доказательство

Следствие 9.2. 

Центр правильного многоугольника совпадает с центрами вписанной и описанной окружностей.

Т еорема 9.5. 

Сторона   правильного n-угольника связана с радиусом R описанной окружности формулой 

Доказательство

Следствие 9.3. 

Периметры правильных n-угольников относятся как радиусы описанных окружностей.