- •Курманова елена николаевна
- •§ 1. Понятие группы, подгруппы. Критерий подгруппы
- •§2. Группа классов вычитов по натуральному модулю.
- •§3. Понятие кольца. Подкольцо. Критерий подкольца.
- •§4.Кольцо классов вычетов по натуральному модулю.
- •§5.Классы смежности группы по подгруппе. Нормальный делитель
- •§6.Идеалы кольца. Фактор-кольцо
- •§7.Понятие поля. Поле комплексных чисел
- •§8.Кольцо многочленов от одной переменной
Курманова елена николаевна
Элементы абстрактной и компьютерной алгебры
§ 1. Понятие группы, подгруппы. Критерий подгруппы
Опр.Пусть А и В-некоторые множества. Прямое произведение множеств А и В-множество, состоящее из всех
упорядоченных пар (a,b), таких что a A,b B. ∈ B
A*B={(a,b)/a A,b B}. Если А=В, то А*В=А ∈ ∈
2
-декартов квадрат множества А.
Опр. Пусть X и Y-некоторые множества, f-бинарное отношение от множества Х к множесту Y. Тогда f называется
отображением из X в Y, если для x X !y Y y=f(x). Если X=Y, то говорят, что f задано на множестве X. ∀ ∈ ∃ ∈
Опр. Пусть X-некоторое множество. Отображение *: X
x
X→X называется бинарной операцией, заданной на
множестве Х.
∀(a,b)X
x
X !c X c=a*b ∃ ∈
Пример. X=N, *=''-''
''-''-бин.операция N? с=a-b
при 2,5 не принадлежит N
Вычитание не является бинарной операцией на N.
Для любых 2-х натуральных чисел их сумма является натуральным числом и при том единственном.
Следовательно сложение является бинарной операцией на N.
Группоид-если на множестве М задана бинарная операция *, то говорят, что множество М относительно операции
* образует группоид.
Обозначение группоида: (М,*)-группоид.
Если (М,*)-группоид и для a,b,c M (a*b)*c=a*(b*c), то бин.отношение * называют ∀ ∈ ассоциативной.
Пример. Сложение ассоциативно, а вычитание нет.
Опр. Если (М,*)-группоид и -ассоциативной в М, то (М,*)-полгурппа.
Опр. Если -бинарная операция в М и e M x M x ∃ ∈ ∀ ∈ *e=e*x=x, то e-нейтральный элемент множества М
относительно операции *
Опр. Если (М,*)-полугруппа и в М существует нейтральный элемент относительно *, то (М,*)-моноид.
Например умножение-моноид, а сложение-нет..
Опр. Пусть (М,*)-группоид, рассм. a,a' M. Если a M a' M a*a'=a'*a=e, то a'-симметричный элемент для а, ∈ ∀ ∈ ∀ ∈
относительно *, а-симметризуемый.
Множество Z содержит симметричные эелементы.
Опр. Если (М,*)-моноид и у всех элементов из М симметричные им элементы принадлежат М, то (М,*)-группа.
Пример: Z,Q,R,C-группы по сложению.
Простейшие свойства групп.
Пусть (G, *)-группа
1) ∀ ∈ ⇒ ⇒ g G (g')'=g док-во: т.к.g'-симметрично для g, то g*g'=g'*g=e g'*g=g*g'=e (g')'=g
2) ∀g1,g2,g3∈G g1*g2=g1*g3 g ⇒ 2=g3 доказательство g1'*(g1*g2)=g1'*(g1*g2) (g1'*g1)*g2=(g1*g1')*g3 e*g2=e*g3
g2=g3
3) ∀g1,g2,g3∈G (g1*g2)'=g2'*g1' д-во: доказательство (g1*g2)*(g2'*g1')=g1*(g2*(g2'*g1'))=
g1*((g2*g2')*g1')=g1'*(e*g1')=g1*g1'=e (1) и наоборот (g2'*g1')*(g1*g2)=((g2'*g1')*g1)*g2=
(g2*(g1'*g1))*g2=(g2'*e)*g2=g2'*g2=e (2)
(1),(2) (g ⇒ 1*g2)*(g2'*g1')=(g2'*g1')*(g2'*g1')=e (g ⇒ 1*g2)'=g2'*g1'
Теорема 1.1. Если (М,*)-группоид, e M-нейтральный элемент. То e-единственный. ∈
Доказательство: методом от противного.
Пусть е не единственный нейтральный элемент в М относительно операции *, т. е. e ∃ 1∈M, e1-нейтральный эл-т в
М, e1≠e.
т. к. е-нейтральный, то e1*e=e*e1= e1 (1)
т. к. e1-нейтральный, то e*e1=e1*e=e (2)
(1),(2) e ⇒ 1=e, что проиворечит предположению, что e1≠e
Следовательно наше предположение неверно и e-единственный нейтральный элемент в М относительно операции
*.
Теорема 1.2. Если (М,*)-моноид, a'-симметричный элемент для а во мн-ве М относительно операции *, то a'-
единственный.
Доказательство: методом от противного. Пусть a'' M, a''-симметричный эл-т для а относительно * и a''≠a'. ∃ ∈
т. к. a'-симметричный элемент для а, то а*a'=a'*а=е
т. к. a''-симметричный элемент для а, то а*a''=a''*а=е
т. к. е-нейтральный элемент, то a'*e=e*a'=a', a''*e=e*a''=a''
Рассмотрим a''=a''*e=a''*(a*a')=(a''*a)*a'=e*a'=a' a''=a', что противоречит a''≠a', следовательно наше предположение ⇒
не верно и a' единственный симметричный элемент для а.
Если (М,*)-группоид и ∀a,b M a*b=b*a, то бин.операция * называется ∈ коммутативной.
Если *,°-бин.операии на М и a,b,c M (a*b)°c=(a°c)*(b°c), то говорят, что «°» ∀ ∈ дистрибутивно операции * справа.
∀ ∈ a,b,c M a°(b*c)=(a°b)*(a°c), то говорят, что «°» дистрибутивна относительно * слева.
Если операция ° дистрибутивна относительно * слева и справа, то говорят, что операции ° дистрибутивна
относительно операции *.
Например: сложение и умножение ассоциативны и коммутативны на множествах N,Z,R,Q,C.
Сложение ассоциативно намножестве всех матриц размерности (mxn) Mmxn.
Пусть (G,*)-группа, H ≠ , H G. Если (H,*)-группа, то Н называется подгруппой группы G/ ∅ ⊂
Обозначение H≤(H,*)≤(G,*).
Теорема 1.3. (критерий подгруппы)
Пусть (G,*)-группа, H<> , H G. H ≤ G ∅ ⊂ ⇔
1. ∀ ∈ ∈ a,b Н a*b Н
2. ∀ ∈ ∈ а Н a' Н
Док-во:
⇒ Н ≤ G (Н,*)-группа ⇒ ⇒
⇒ ∀ ∈ ∈ *- бин поерация в Н, а Н а' Н, т. к. а'-симметричный эл-т для а.
а) a,b Н a*b Н 1) усл крит выполнено ⇒ ∀ ∈ ∈ ⇒
б) 2) усл.крит. Выполнено ⇒
a)⇐ a,b Н a*b Н, a*b -едвинственный в Н, то *-бинарная операция в G *-бин.операция в Н (Н,*)- ∀ ∈ ∈ ⇒ ⇒
группоид.
б) т. к. H G, то * -ассоц в Н (Н,*)-полугруппа ⊂ ⇒
в) 2) а Н а Н симм-ые эл-ты для всех эл-тов из Н. ⇒ ∀ ∈ ∈ ⇒
г) при b=a' a*a'=e Н (из 1 усл) ∈
а),б),в),г) (Н,*)-группа, а т. ⇒ к. Н ≠ , H G (по усл) H ≤ G ∅ ⊂ ⇒