§2. Группа классов вычитов по натуральному модулю.

Рассмотрим множество всех целых чисел Z и число m ∈ N, m ≠ 1.

Все целые числа при делении на m могут давать отстатки 0,1,2,...,m-1

Соберем множество всех чисел, дающих при делении на m остаток 0 в одном множество 0.

Соберем множество всех чисел, дающих при делении на m остаток 1 в одном множество 1.

…

Соберем множество всех чисел, дающих при делении на m остаток m-1 в одном множество m-1.

Множества 0,1,...,m-1 называются классами вычетов по модулю mod m.

Z=/(m)={0,1,...,m-1}-множество всех классов вычетов.

Введем на этом множестве операцию сложения классов вычитов.

∀ ∈ a,b Z=/(m), a+b=a+b

Понятие группы

1.является ли множество всех четных чисел группой относительно сложения?

Необходимо проверить, является ли бинарной операцией

Обозначим множество М={2n/n ∈ Z} (M,+)-группа?

)+ бинарная операция в М

∀ ∈ ∃ ∈ x,y М !z М z=x+y. Докажем, что существует и что единтсвенный двумя способами.

1способ

а) существование

z=2n+2m=2(n+m) М, (n+m)-целое ∈

б)единствнность. Методом от противного

Пусть z не единственный в М, тогда существует z1 ≠ z, z1=x+y

z=x+y

z1=x+y

противоречит нашему предположению, следовательно наше предположение неверно, и z -единственное в М.

а),б) бинарная операция (М,+)-группоид ⇒ ⇒

2 способ

так как сумма любых 2 четных чисел является четным числом и при том единственным, то сложение является

бинарной операций на множестве М (М,+)-группоид ⇒

2)+ ассоциативно в М?

∀ ∈ a,b,c М(a+b)+c=a+(b+c)

1способ

(a+b)+c=(2n+2m)+2k=2(n+m)+2k=2((n+m)+k)=2(n+(m+k))=2n+2(m+k)=2n+(2m+2k)=a+(b+c) + ассоциативно в М ⇒

⇒ (М,+)-полугруппа

2спиособ

так как четные числя являются целыми, а на множестве Z сложение ассоциативно, то данное равенство верно и для

четных чисел (множества М) (М,+)-полугруппа ⇒

3) ∃ нейтрального элемента относительно + в М

∃ ∈ ∀ ∈ е М а М а+е=е+а=а

1способ

а+е=а е+а=а

е=а-а е=а-а

е=0 е=0

2*0 M е=0 нейтральны элемент относительно + в М. ∈ ⇒

2способ

е=0=2*0 M∈

теперь проверим

а+0=0+а=а

⇒ (М,+)-моноид

4)существование симметричных элементов относительно сложения в М

∀ ∈ ∃ ∈ а М а' М a+a'=a'+a=e=0 //обязательно надо приравнивать к тому, что нашли.

1способ

a+a'=0 a'+a=0

a'=-a=2(-n) a'=-a

⇒ a'-симметричный элемент для а.

a'=-a=2(-n) M∈

a+a'=2n+(-2n)=0

a'+a=(-2n)+2n=0

⇒ а'-симметричный элемент для а относительно + в М

1),2),3),4) (М,+)-группа ⇒

Является ли множество всех нечетных чисел группой, относительно сложения.

W={2n+1|n Z} ∈

1)нет,т.к. Нге бин.операция

является ли множество (А, º)-группой, a,b А aºb=ab/2, А=Z ∀ ∈

1) º-бинарная операция из А?

1) «+» классов вычетов на множестве Z/(m) явл. Бин.отноше:

∀ a,b ∈ Z/(m) ! ∃ с∈Z/(m) с=a+b.т.к. Сложение классов вычетов сводится к сложению натуральных

чисел и нахождению остатка от деления на m, то с∈Z/(m) и единственно + -б.о. на ⇒ Z/(m) ( ⇒ Z/

(m),+)-группоид

2) + ассоциативно на Z/(m):

∀ a,b,с ∈ Z/(m) (a+b)+c=a+(b+c) //доказательство (a+b)+c=a+b+c= a+(b+c)=a+b+c=a+

(b+c) + ассоциативно на ⇒ Z/(m) ( ⇒ Z/(m),+)-полугруппа

3) существование нейтрального элеента отсносительно + Z/(m) :

∃ е ∈Z/(m) ∀ а ∈Z/(m) a+e=e+a=a, e=0 ∈ Z/(m). моноид ⇒

4) существование симметричных элементов Z/(m) относительно сложения

∀а∈ Z/(m) ∃а!∈Z/(m) а+a'=a'+a=e=0. a'=m-a∈Z/(m) ( ⇒ Z/(m),+)-группа

Группа (Z/(m),+)-группа классов вычетов по натуральному одулю m (m ≠ 1).