4. Статистическая оценка законов распределения в задачах надежности

Распределение Пуассона (однопараметрическое с параметром λ) закономерность появления случ. отказов в сложных системах. Применение при опр-ии Р появления и восстановления отказов. Случайная величина Х распределена по З. Пуассона, если Р, выражается P_m= λ^me^-λ/m! ,где λ-параметр распределения (некоторая положит. величина); m=0, 1. 2, Мат ожидание и дисперсия случайной величины х для З Пуассона= пар-ру распр-ия λ:M_x.=D_x= λ Экспоненциальный закон распр-ия осн. закон надежности, для прогнозирования надеж-ти в период норм эксплуатации изделий, постепенные отказы еще не проявились и надежность хар-ся внезапными отказами. имеющими пост интенсивность Плотность распр-ия эксп закона: f (x) = λe^−λx ;

фу-ция распределения: F(x) = 1− e^−λx

фу-ция надежности: P(x) = 1− F(x) = e^−λx ;

мат ожидание величины Х: дисперсия

Норм.закон распр-ия закон Гаусса. - предельный закон, к нему приближаются др. законы распр-ия. Для описания постеп/ отказов, распр-ие времени безотказной работы в начале имеет низкую плотность, затем макс. далее плотность снижается. Расп-ие подчиняется норм. закону, если на изменение случ величины оказывают влияние многие,≈равнозначные факторы. Норм закон распр-ия описывается плотностью вероятности

где е = 2,71828 — основание натурального логарифма; π= 3,14159; т и σ –пар-ры распр-ия, по рез-там испытаний. Колоколообразная кривая приведена на рис.

Логарифмически норм. Распр-ие для описания наработки до отказа подшипников, электронных ламп Неотрицательная случ величина распределена лог-и норм, если ее lg распределен норм. Плотность распределения для различных значений σ приведена на рис. Р безотказной работы можно опр-ть по табл для норм распр-ия в зависимости от значения квантили

Распределение Вейбулла двухпараметр распр-ие. универсальное, т.к. при соответ. значениях пар-ров мб норм, экспоненц. и др. З. Вейбулла описывает наработку до отказа подшипников, Эл-ов радиоэл. аппаратуры, Плотность распределения где α — пар-р формы кривой распределения; λ — пар-р масштаба; Для изделий, со скрытыми дефектами, но длительное время не стареют, α<1. изделие пне. имеет скрытых дефектов, но подвергается быстрому старению, α>1. При α =3.3 распр-ие Вейбулла близко к норм. Гамма-распределение – двухпараметр-ое распр Плотность распр-ия (0 ≤ х ≤ ∞). Применяют при описании появления отказов стареющих элементов, времени восстановления, наработки на отказ резервир. систем. При различ. Пар-рах г.распр-ие принимает разнообразные формы, Плотность вероятности гамма-распр-ия определяется равенствами ,при х≥0

f(х)=0, при х=0 где

Гистограмма, наим квадраты

5.Вероятностаня оценка отказа в работе технического объекта

Все пар-ры используемые в над-ти вероятностные и с допущениями.

Вероятностная оценка дерева отказов

Схема ИЛИ. с двумя входами, изображенную на рис.1 Для этой схемы вероятность появления завершающего события имеет вид

Р(Т) = Р(a) + Р(b) - Р(а *b). (8.5)

В случае схемы ИЛИ с n входами имеем

Р(а + b + с + ...) ≈ Р(а) + Р(b) + Р(с)+ ... .

Схема И. В случае схемы И с двумя входами (рис. 8.15) события а и b статистически независимы и для получения вероятности появления завершающего события применяется правило умножения вероятностей: Р(аb) = Р(а) *Р(b).Для схемы И с n входами данное выражение можно записать в общем виде:

Р(а . b . с ...) = Р(а) *Р(b)*Р(с) .... (8.8)

Пример 8.8. Требуется вычислить вероятность появления завершающего события дерева неисправностей, изображенного на рис.3

Допустим, что основные события А, В, C, D и Е статистически независимы и что Р(А)= Р(В) = Р(С) = Р(D) = Р(Е) = 1/4. В данном случае дерево не содержит повторяющихся элементарных событий, поэтому можно вычислить вероятность конкретных событий на выходе каждой логической схемы. Однако если бы в ветвях дерева неисправностей присутствовали повторяющиеся события, то сначала необходимо было бы исключить повторяющиеся событий.

Для данного дерева неисправностей решение может быть получено следующими двумя методами. Метод 1. Запишем выражение для завершающего события через элементарные со-

бытия т. е.Т0 = Т1 + Т2. (8.9)

Поскольку T2 = CD, T1 = T3E, Т3 = А + В, то To = E(A + B) + CD, и, следовательно,

Р(Т0) = Р(ЕА + EB + CD). (8.10)

Раскрывая полученное выражение, можно получить формулу для вероятности появления завершающего события. При допущении о статистической независимости событий (отказов) можно найти колич оценку вероятности появления завершающего события.

Метод 2. Этот метод определения численного значения вероятности появления завершающего события основан на вычислении вероятностей появления промежуточных событий. В данном случае предполагается, что события (отказы) статистически независимы.

Используя правило умножения вероятностей, получаем следующие количественные рез-ты для вероятностей появления промежуточных событий и завершающего события:

Р(Т3) = Р(А) + Р(В) - Р(А).Р(В) = 1/4 + 1/4 - 1/16 = 7/16,

Р(Т2) = P(С).Р(D) = 1/4 . 1/4 = 1/16,

Р(Т1) = Р(Т3).Р(Е) = 7/16 . 1/4 = 7/64,

Р(Т0) = Р(Т1) + Р(Т2) - Р(Т1).Р(Т2)= 7/64 + 1/16 - 7/64 . 1/16 = 169/1024