10Первообразная функции

Функция   называется первообразной функции   , если функция  является производной функции  .

У одной и той же функции   много первообразных. Если   - первообразная функции   , то и любая функция   , где С - число, является первообразной той же функции.

Доказательство.  . Верно и обратное: если   и   - две первообразные одной и той же функции   , то   . И в самом деле, так как   то   , то есть   . А производная равна нулю только у постоянной функции. Отсюда и получается, что   , или   , ч.т.д.

Неопределенным интегралом функции   называется множество первообразных этой функции.

Неопределенный интеграл функции   обозначается символом   . Чтобы найти интеграл от данной функции, нужно найти любую ее первообразную и прибавить к ней произвольное число С. Так,  , и т.д.

11Интеграл функции — аналог суммы последовательности. Неформально говоря, (определённый) интеграл является площадью части графика функции (в пределах интегрирования), то есть площадью криволинейной трапеции.

Процесс нахождения интеграла называется интегрированием.

Согласно основной теореме анализа, интегрирование является операцией, обратной дифференцированию, чем помогает решать дифференциальные уравнения.

Существует несколько различных определений операции интегрирования, отличающиеся в технических деталях. Однако все они совместимы, то есть любые два способа интегрирования, если их можно применить к данной функции, дадут один и тот же результат. Наиболее простым является интеграл Римана.

13Формула Ньютона — Лейбница или основная теорема анализа даёт соотношение между двумя операциями: взятием определенного интеграла и вычислением первообразной.

Если   непрерывна на отрезке   и   — ее любая первообразная на этом отрезке, то имеет место равенство

14Логари́фм числа   по основанию   (от греч. λόγος — «слово», «отношение» и ἀριθμός — «число»^[1]) определяется^[2] как показатель степени, в которую надо возвести основание  , чтобы получить число  . Обозначение:  , произносится: логарифм   по основанию  .

Из определения следует, что нахождение   равносильно решению уравнения  . Например,   потому что 

Вычисление логарифма называется логарифмированием. Числа   чаще всего вещественные, но существует также теориякомплексных логарифмов.

Логарифмы обладают уникальными свойствами, которые определили их широкое использование для существенного упрощения трудоёмких вычислений^[3]. При переходе «в мир логарифмов» умножение заменяется на значительно более простое сложение, деление — на вычитание, а возведение в степень и извлечение корня преобразуются соответственно в умножение и деление на показатель степени.Лаплас говорил, что изобретение логарифмов, «сократив труд астронома, удвоило его жизнь»^[4].

Определение логарифмов и таблицу их значений (для тригонометрических функций) впервые опубликовал в 1614 году шотландский математик Джон Непер. Логарифмические таблицы, расширенные и уточнённые другими математиками, повсеместно использовались для научных и инженерных расчётов более трёх веков, пока не появились электронные калькуляторы и компьютеры.

Со временем выяснилось, что логарифмическая функция   незаменима и во многих других областях человеческой деятельности: решение дифференциальных уравнений, классификация значений величин (например, частота и интенсивность звука), аппроксимация различных зависимостей, теория информации, теория вероятностей и т. д. Эта функция относится к числу элементарных, она обратна по отношению к показательной функции. Чаще всего используются вещественные логарифмы с основанием   (натуральный логарифм),   (десятичный) и   (двоичный).