- •2. Понятие обратной функции.
- •4. Определение предела последовательности.
- •6. Определение ограниченной последовательности.
- •21.Теорема о производной сложной функции.
- •22.Теорема о производной обратной функции.
- •23. Геометрический смысл производной и дифференциала.
- •28. Формула Тейлора. Формула Маклорена.
- •51. Окрестность точки в rⁿ.
- •52. Открытые и замкнутые множества.
- •53. Изолированные и предельные точки множества.
- •55. Сходимость последовательности точек в Rn, ее эквивалентность покоординатной сходимости.
- •72. Теорема о равенстве смешанных производных
- •73. Формула Тейлора для функции нескольких переменных с остаточным членом в форме Лагранжа.
- •74. Локальные экстремумы функций
- •75. Необходимое условие локального экстремума функций нескольких переменных.
- •76. Достаточное условие локального экстремума функций нескольких переменных.
- •77. Условный экстремум.
- •78. Метод Лагранжа.
- •79. Наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на замкнутом ограниченном множестве.
- •86. Последовательность частичных сумм. Сумма ряда. Сходящиеся ряды.
- •87. Свойства сходящихся рядов.
- •88. Необходимое условие сходимости числового ряда.
- •89. Числовые ряды с неотрицательными членами.
- •90. Критерий сходимости числовых рядов с неотрицательными членами.
- •91. Признаки сравнения, признак Даламбера и Коши, интегральный признак для числовых рядов с неотрицательными членами.
- •92. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.
- •93. Признак Лейбница для знакочередующихся числовых рядов.
- •109. Общее решение однородной системы линейных
51. Окрестность точки в rⁿ.
Пусть pₒ- точка в Rⁿ и ε – положительное число. Открытым шаром, или просто шаром радиуса ε с центром в pₒ называется множество всех точек, расстояние которых от pₒ меньше ε:
{p € Rⁿ │ ρ (pₒ,p)< ε}.
Шар радиуса ε с центром pₒ обозначается B(pₒ, ε) или U3(pₒ). Множество U3(pₒ) называют
ε–окрестностью точки pₒ.
Внутренние и граничные точки множества:
Пусть Х – множество в пространстве Rⁿ. Точка р называется:
-Внутренней точкой множества Х, если она содержится вместе с некоторой своей
ε–окрестностью;
-Внешней точкой по отношению к Х, если она является внутренней для дополнения Х в Rⁿ;
-Граничной точкой для Х, если она не является ни внутренней ни внешней точкой для Х, иначе говоря, если любая ее окрестность содержит как точки, принадлежащие Х, так и точки, не принадлежащие Х.
52. Открытые и замкнутые множества.
Множество X называется открытым, если все его точки внутренние.
Множество X называется закрытым, если оно содержит все свои граничные точки.
53. Изолированные и предельные точки множества.
Пусть X - множество в Rn. Точка p0 называется предельной для X, если в любой
ε-окрестности точки p0 имеются точки множества X, отличные от p0.
При этом сама точка p0 может как принадлежать, так и не принадлежать множеству X.
Точка p0 X называется изолированной точкой множества X, если у нее существует
ε-окрестность, в которой никаких других точек из X, кроме p0, нет.
Ясно, что любая точка множества Х является либо изолированной, либо предельной
для Х.
54. Ограниченные множества.
Множество X Rn называется ограниченным, если оно целиком содержится в некотором шаре.
Нетрудно показать, что ограниченность множества Х означает, что существует такое число C>0, что координаты любой точки p=(x1,x2,…,xn) из Х по модулю не превосходят С: |x1| .
55. Сходимость последовательности точек в Rn, ее эквивалентность покоординатной сходимости.
Пусть – последовательность точек в Rn. Мы говорим, что эта последовательность сходится к точке p0, если числовая последовательность имеет предел 0.
Пусть p1=(x1,y1), p2=(x2,y2) ,…- последовательность точек в . Мы скажем, что эта последовательность сходится к точке p0=(x0,y0), если числовая последовательность x1,x2,… сходится к числу x0, а числовая последовательность y1,y2,… - к числу y0.
56. Функция нескольких переменных.
Числовая ф-ция n переменных характеризуется тем, что областью ее определения является подмножество Х пространства Rn, n>1В этом случае значение аргумента х представляет собой точку (х1,х2,..хn) .
57. Поверхности (линии) уровня функции нескольких переменных.
Линией уровня функции называют линию f(x,y)=C на координатной плоскости, в точках которой функция f принимает постоянное значение C.
При n>2 следует говорить не о линиях, а о множествах уровня. Множество уровня имеет уравнение f( и истолковывается как “ поверхность” в
58. Предел функции нескольких переменных.
Пусть на множестве X Rn задана функция f(p) и пусть p0 – предельная точка для Х. Число a называется пределом функции f в точке p0, если для любой сходящейся к p0 последовательности , где все pn p0, соответствующая числовая последовательность сходится к числу а.
Запись: , или в координатной форме:
59. Непрерывность функции нескольких переменных.
Функция f(p), определенная на множестве X Rn, называется непрерывной
в точке р0 X, если , или же, если p0 – изолированная точка множества Х.
Функция f(p), определенная на множестве X Rn, называется непрерывной на этом множестве, если она непрерывна в каждой точке множества Х.
60. Свойства функций, непрерывных на замкнутом ограниченном множестве: ограниченность, достижение наибольшего и наименьшего значений.
Если числовая функция f от n переменных задана на ограниченном и замкнутом множестве Х Rn, то она ограничена на этом множестве.
Если числовая функция f от n переменных задана на ограниченном и замкнутом множестве Х Rn, то существует точка p0 X, в которой f принимает свое наименьшее значение, и точка q0 X, в которой f принимает свое наибольшее значение на Х.
61. Частные производные функции нескольких переменных.
Частной производной функции нескольких переменных по одной из этих переменных называется предел отношения частного приращения функции к приращению соответствующей независимой переменной, когда это приращение стремится к нулю.
Частные производные функции z=f(x,y) в точке (x0,y0) обозначаются так:
z’x , dz/dx , f’x(x0,y0) – производная по x;
z’y, dz/dy, f’y(x0,y0) – производная по y.
62.Дифференцируемость функции нескольких переменныхФ-цияz=f(x,y) называетсядифференцируемойвточке (x0,y0), еслиееполноеприращениеможнопредставитьввиде: ∆z=f(x,y)-f(x0,y0)=f’x(x0,y0)∆x+ f’y(x0,y0)∆y+eρ, либо ∆z=dz+ eρ, гдее=е(∆x,∆y)- ф-циябесконечномалаяпри ∆x→0,∆y→0; ρ=√((∆x)2+∆y2)-расстояниеотточки (x,y) доточки(x0,y0)
63. Дифференциал функции нескольких переменных.Полный дифференциал ф-циивыполняет роль линейного приближения и определяется как сумма произведений частных производных ф-ции на приращения независимых переменных: dz=z’x∆x+z’y∆y
64. Достаточное условие дифференцируемости функции нескольких переменных.Если частные производные f’x(x,y) и f’y(x,y) определены в окрестности точки (x0,y0), то ф-цияz=f(x,y) дифференцируема в этой точке
65. Непрерывность дифференцируемой функции.Если ф-цияz=f(x,y)дифференцируема в точке (x0,y0), то она непрерывна в этой точке.
66. Однородные функции. Ф-ция z(x;y) называется однородной степени α, если для любой точки (х;у) из области определения и переменной t выполняется равенство z(tx;ty)= tα z(x;y).
Пусть D из Rn – область в Rn, содержащая с каждой своей точкой (x1, x2, …., xn) и все точки вида (tx1, tx2, …., txn) при t>0 ф-ция f(x1, x2, …., xn) с такой областью определения D называется однородной степени λ, если для любого t>0 выполнятся равенство f (tx1, tx2, …., txn)=tλ f(x1, x2, …., xn).
67. Формула Эйлера для однородной функции. f’x(tx, ty)x+f’y(tx, ty)y=λtλ-1f(x,y)
Положив здесь t=1,получим формулу Эйлера:
f’x(x, y)x+f’y(x, y)y=λf(x,y)
68.Производная сложной функции. Сложной функцией называется такая функция аргумент которой представляет собой ещё одну функцию.
Правило вычисления производной сложной функции: Производная сложной функции равна произведению производной основной функции на производную вспомогательной
69. .Производная по направлению.
Производной ф-ции f(x,y) в точке (x0,yo) по направлению ℮ называется предел
70. Градиент. Свойства градиента Градиентом ф-ции z= f(x,y) в точке M(x,y) называется вектор, координаты которого равны соответствующим частным производным , взятым в точке M(x,y).
Grad f(M)=(f’x(M),f’y(M)). Градиент указывает направление наискорейшего роста ф-ции, а максимальная скорость роста равна модулю градиента.
│Gradf(M)│=δf(M)/δe
Положимѱ(t)=f(p+tv), p,vϵRn, тогдаѱ’(0)=(gradf(p),v)
Градиент ф-цииgradf(M) является вектором нормали касательной к линии уровня в точке М
Градиент ф-цииf(x,y,z) является вектором нормали касательной плоскости к поверхности уровня ф-ции в точке М
71. Частные производные высших порядков. Частные производные от функций f’x(x,y) и f’y(x,y) называют частными производными второго порядка от ф-цииf(x,y).Частные производные от частных производных второго порядка называют частными производными третьего порядка от ф-ции. Частные производные второго порядка z’’xyиz’’yxназывают смешанными частными производными.