17. 1)Включение цепи r, l, с на постоянное напряжение (случай; апериодический и предельный апериодический).

З аданы параметры цепи: R, L, C; напряжение U ; независимые начальные условия:

, (1.41)

Требуется найти ток i и

напряжения , , . Составим интегродифференциальное уравнение равновесия напряжений в контуре

Д ля получения дифференциального уравнения выразим ток i через напряжение : ; (1.43)

Общее решение уравнения (1.43) имеет вид ; .

Свободная составляющая является общим решением однородного уравнения

Соответствующее характеристическое уравнение

или . (1.45)

Характеристическое уравнение (1.45) проще составить, записав для цепи комплексное входное сопротивление

.

При --

Приравняв к 0, получим характеристическое уравнение (1.45).

Корни уравнения (1.45)

, (1.46)

где – коэффициент затухания, – резонансная частота.

Решение однородного уравнения (1.44) зависит от вида корней и . Из (1.46) следует, что корни могут быть вещественными неравными ( ), вещественными равными ( ) и комплексно-сопряжёнными ( ). Соответственно различают три случая свободного процесса в цепи (рис. 1.21):

1. Апериодический случай – корни и – вещественные, отрицательные и неравные ; или .

Каждый из корней даёт независимое решение, и свободная составляющая напряжения на ёмкости ,где A и B – постоянные интегрирования.

Переходное напряжение примет вид ,

а переходный ток в контуре . (1.49)

Найдём постоянные интегрирования и , используя начальные условия (1.41) и законы коммутации, ; . (1.50)

Для момента из (1.48) и (1.49) следует ;

откуда ; . (1.52)

Подставив и в (1.48) и (1.49), получим

; (1.53) ;

Так как в (1.46) , то

Переходные напряжения и найдём по формулам:

; .

Графики переходного процесса для , и построены на рис. 1.22, а, б.

Найдём максимум (амплитуду) импульса переходного тока (рис. 1.22, б) .

Приравняв эту производную нулю, получим время этого максимума

.

Подставив в формулу (1.54), найдём .

3. Предельный апериодический (критический) случай: корни и (1.46) – вещественные, отрицательные и равные, , .

В этом граничном случае выражение для просто получить из формулы (1.57):

используя предельный переход при и раскрывая неопределённость по правилу Лопиталя:

. (1.66)

. (1.67)

Графики переходного процесса для этого случая показаны на рис. 1.25, а, б.

Из формулы (1.66) и графика (рис. 1.25, а) видно, что напряжение устанавливается дольше, чем при апериодическом заряде ёмкости при равных в обоих случаях постоянных времени и . При расчёте по формуле (1.66) напряжение отличается от при на , при на , при на . Таким образом, время переходного процесса можно считать близким к .

В практических случаях представляет интерес амплитуда импульса тока, которым заряжается конденсатор.

Приравняв производную нулю, найдём и .

Из равенства , при котором корни характеристического уравнения становятся равными, находят граничное значение сопротивления , которое называют критическим, . (1.66)

При переходный процесс имеет апериодический характер, при процесс становится колебательным. Добротность контура в критическом режиме Контур с добротностью называют колебательным.