3. Системы счисления. Основные позиционные системы счисления

Система счисления - это способ записи чисел с помощью заданного набора специальных знаков (цифр). Существуют позиционные и непозиционные системы счисления.  В непозиционных системах вес цифры не зависит от ее позиции в записи числа. Так, в римской системе счисления в числе ХХХII (тридцать два) вес цифры Х в любой позиции равен просто десяти. В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число.  Например, в числе 757,7 первая семерка означает 7 сотен, вторая - 7 единиц, а третья - 7 десятых долей единицы. Сама же запись числа 757,7 означает сокращенную запись выражения:

700 + 50 + 7 + 0,7 = 7·10 ² + 5·10 ¹ + 7·10 ⁰ + 7·10 ^-1 = 757,7.

Любая позиционная система счисления характеризуется своим основанием.  Основание позиционной системы счисления - это количество различных знаков или символов, используемых для изображения цифр в данной системе. За основание системы можно принять любое натуральное число - два, три, четыре и т.д. Следовательно, возможно бесчисленное множество позиционных систем: двоичная, троичная, четверичная и т.д. Запись чисел в каждой из систем счисления с основанием q означает сокращенную запись выражения: 

a_n-1 q^n-1 + a_n-2 q^n-2+ ... + a₁ q¹ + a₀ q⁰ + a_-1 q^-1 + ... + a_-m q^-m,

где a_i - цифры системы счисления; n и m - число целых и дробных разрядов, соответственно. Таким образом, максимальное целое, которое можно представить в n разрядах системы счисления с основанием q, равно qⁿ-1, минимальное значащее число - q^-m, количество различных чисел, которые можно записать, используя nразрядов в целой части и m в дробной, составляет q^n+m. Кроме десятичной широко используются системы с основанием, являющимся целой степенью числа 2, а именно:

• двоичная (используются цифры 0, 1);

• восьмеричная (используются цифры 0, 1, ..., 7);

• шестнадцатеричная (для первых целых чисел от нуля до девяти используются цифры 0, 1, ..., 9, а для следующих чисел - от десяти до пятнадцати - в качестве цифр используются символы A, B, C, D, E, F).

4. Перевод десятичных чисел в систему с произвольным основанием и обратно

При переводе целого десятичногочисла в систему с основанием q его необходимо последовательноделить на q до тех пор, пока результат деления не будет равен нулю. Число в системе с основанием q записывается как последовательность остатков от деления, записанных в обратном порядке, начиная с последнего. Например:

25₁₀=11001₂=31₈=19₁₆

При переводе правильной десятичной дроби в систему счисления с основанием qнеобходимо сначала саму дробь, а затем дробные части всех последующих произведений последовательно умножать на q, отделяя после каждого умножения целую часть произведения. Число в новой системе счисления записывается как последовательность полученных целых частей произведения. Умножение производится до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равной нулю. Это значит, что сделан точный перевод. В противном случае перевод осуществляется до заданной точности. Достаточно того количества цифр в результате, которое поместится в ячейку. 

0,25₁₀=0,01₂

При переводе числа из двоичной[восьмеричной, шестнадцатеричной] системы вдесятичную надо это число представить в виде суммы степеней основания его системы счисления.

5. Способы представление текста

Информация в форме текста обычно представляется с помощью кода, причем каждому отличному от других символу [например, букве алфавита или знаку пунктуации] присваивается уникальная комбинация двоичных разрядов. В этом случае текст будет представлен как длинный ряд битов, в котором следующие друг за другом комбинации битов отражают последовательность символов в исходном тексте.

Ниже приведен неполный список ASCII-кодов символов. В этом списке к исходным семиразрядным двоичным кодам слева приписаны нули - для получения восьмибитовых кодов, общепринятых в настоящее время.

Символ	ASCII-код	Символ	ASCII-код	Символ	ASCII-код
[пробел]	00100000	?	00111111	^	01011110
!	00100001	@	01000000	_	01011111
"	00100010	A	01000001	a	01100001
#	00100011	B	01000010	b	01100010
$	00100100	C	01000011	c	01100011
%	00100101	D	01000100	d	01100100
&	00100110	E	01000101	e	01100101
'	00100111	F	01000110	f	01100110
(	00101000	G	01000111	g	01100111
)	00101001	H	01001000	h	01101000
*	00101010	I	01001001	i	01101001
+	00101011	J	01001010	j	01101010
,	00101100	K	01001011	k	01101011
.	01101011	L	01001100	l	01101100
.	00101110	M	01001101	m	01101101
/	00101111	N	01001110	n	01101110
0	00110000	O	01001111	o	01101111
1	00110001	P	01010000	p	01110000
2	00110010	Q	01010001	q	01110001
3	00110011	R	01010010	r	01110010
4	00110100	S	01010011	s	01110011
5	00110101	T	01010100	t	01110100
6	00110110	U	01010101	u	01110101
7	00110111	V	01010110	v	01110110
8	00111000	W	01010111	w	01110111
9	00111001	X	01011000	x	01111000
:	00111010	Y	01011001	y	01111001
;	00111011	Z	01011010	z	01111010
<	00111100	[	01011011	{	01111011
=	00111101	\	01011100	}	01111101
>	00111110	]	01011101

Несмотря на то что ASCII - это один из наиболее широко используемых кодов, сегодня растет популярность кодов с более широкими возможностями, которые способны представлять документы на разных языках. Одним из них является Unicode, который был разработан в результате объединенных усилий нескольких ведущих фирм-производителей программного и аппаратного обеспечения. В этом коде для представления каждого символа используется уникальная комбинация из 16 двоичных разрядов. В результате кодировка Unicode включает 65 536 различных двоичных кодов, что вполне достаточно даже для представления всех широко употребляемых китайских и японских символов. Международная организация по стандартизации [International Organization for Standardization, часто именуемая ISO, от греческого isos - одинаковый] разработала код, способный соперничать даже с кодировкой Unicode. Здесь для выражения символов используются комбинации из 32 бит, в результате чего этот код позволяет представить более 17 миллионов символов.