Вопросы по теме «Функции нескольких переменных»

1. Понятие функции нескольких переменных (привести примеры функции 2-х, 3-х, п переменных), ее область определения, изображение области определения для функции двух переменных. График функции 2-х переменных.

Если каждой точке М(x1, x2, …,xn) множества D евклидова пространства Rⁿ по некоторому закону   поставлено в соответствие единственное действительное число u, то говорят, что на множестве D задана функция нескольких переменных u= (x1,x2,…,xn) или u= (M).

Множество D при этом называют областью определения функции (M) и обозначают D( ); переменные x1,x2,…,xn называются независимыми переменными или аргументами функции, а число u – зависимой переменной.

Геометрическим изображением (графиком) функции двух переменных z = f ( x, y )является множество точек P ( x, y, z) в трехмерном пространстве Oxyz, координаты которых удовлетворяют уравнению z = f ( x, y ).

Графиком функции непрерывных аргументов, как правило, является некоторая поверхность в пространстве Oxyz, которая проектируется на координатную плоскость Oxy в область определения функции z= f ( x, y ). 

2. Линии и поверхности уровня, примеры. Для функции z = x² + y² –6x +4y + 25 запишите уравнение линии уровня, проходящей через точку Р(1, –4). Постройте ее.

Линией уровня функции z= (x,y) называется множество точек области определения функции, в которых эта функция принимает принимает одно и то же значение С. Уравнение линий уровня (x,y)=C.

Поверхностью уровня функции u= (x,y,z) называется множество точек области определения функции, в которых эта функция принимает одно и то же значение С. Уравнение поверхностей уровня (x,y,z)=C.

3. Определение частного приращения ФНП, частных производных 1-го, 2-го, 3-го и т.д. порядков.

Частной производной функции u= (x1,x2,…,xn) по переменной x1 в фиксированной точке M(x1,x2,…,xn) называется предел отношения частного приращения _x1u функции к приращению аргументa x1 при -->0 (сли этот предел существует):

Частными производными второго порядка от функции z=f(x,y) называются частные производные от ее частных производных первого порядка f ‘_x(x,y), f ‘_y(x,y):

  = (f ‘_x(x,y))’_x.   = (f ‘_y(x,y)) ’_y.

= (f ‘_y(x,y)) ’_y, = (f ‘_x(x,y))’_x

Чпроизводные третьего порядка

4. Физический смысл частных производных 1-го порядка.

5. Температура точки стержня ОХ является функцией абсциссы х этой точки и времени t: =f(x,t). Каков физический смысл частных производных и ?

6. Записать площадь S прямоугольника как функцию его основания b и высоты h. Найти и , указать их смысл.

7. Понятие дифференцируемости ФНП, полного дифференциала, связь между ними. Частные дифференциалы, формула полного дифференциала 1-го , 2-го порядков.

Функция u=f(x1,x2,…,xn) называется дифференцируемой в точке M(x1,x2,…xn), если полное приращение Δu=f(x1+ Δx1, x2+ Δx2,…, xn+ Δxn) – f(x1,x2,…xn) функции в некоторой окрестности этой точки может быть представлено в виде Δu=A1Δx1+ A2Δx2+…+ AnΔxn+o(p),

Где А1,А2 – числа не зависящие от Δx1, Δx2,… Δxn, o(p) – бесконечно малая более высокого порядка по сравнению с p=( Δx1²+ Δx2²+…+ Δxn²)^1/2

Полным дифференциалом du дифференцируемой функции u=f(x1,x2,…xn) называется главная частьполного приращения функции, линейная относительно приращений аргументов Δx1, Δx2,…, Δxn:

du=A1Δ x1+A2Δ x2+…+ AnΔ xn

Если функция дифференцируема в точке (x1,x2,…xn)? То она имеет в этой точке частные производные по каждой переменной, при этом

du= Δ x1 +du/dx2 Δ x 2+du/dxn Δ x3

В силу равенства Δ x_i=dx_i для независимых переменных , получаем

du= Δ dx1 +du/dx2 Δ dx 2+du/dxn d x3

Слагаемые в правой части равенства называются частными дифференциалами функции u по переменным xi и обозначаются d_xiu= dx_i. Следовательно полный дифференциал равен сумме частных дифференциалов: du=d_x1u+ d_x2u+…+ d_xnu.

8. Производная по направлению, градиент, их свойства и связь (с доказательством), физический смысл.

Производная от функции u=f(x,y,z) по направлению вектора а=(a_x, a_y, a_z ) вычисляется по формуле (M₀)= (M₀)*cosL+

9. Линеаризация функции одной и нескольких переменных, ее геометрическая интерпретация, формула линеаризации.

10. Неявная функция 1-й, 2-х, 3-х и т.д. переменных. Дифференцирование неявных функций. Примеры для функций 1-й, 2-х, 3-х переменных.

11. Определение точек максимума и минимума ФНП, экстремумов ФНП.

12. Необходимое условие существования экстремума (*с доказательством), критические точки, их связь с точками экстремума.

13. Достаточное условие существования экстремума ФНП, частный случай функции 2-х переменных.

14. Условный экстремум, его геометрический смысл, способы его нахождения.

15. Наибольшее и наименьшее значения ФНП в замкнутой ограниченной области, условия их существования для ФНП, графический и аналитический методы их нахождения.

16. Метод наименьших квадратов, его суть и примеры применения (для линейной, квадратичной, показательной функций).