6. Исследование функции с помощью производной: интервалы монотонности, экстремумы функции, интервалы выпуклости, точки перегиба графика функции.

Нахождение промежутков монотонности. Для этого находят производную и решают неравенство . На промежутках, где это неравенство выполнено, функция возрастает. Там, где выполнено обратное неравенство , функция убывает. Если два ннтервала возрастания (или убывания) и примыкают друг к другу в точке b и функция непрерывна в этой точке b , то возрастает на интервале . Найдя интервалы монотонности, мы можем сразу определить точки локального экстремума: там, где возрастание сменяется убыванием, располагаются локальные максимумы, а там, где убывание сменяется возрастанием -- локальные минимумы.

Нахождение интервалов выпуклости и вогнутости. ведётся с помощью второй производной. Найдя , мы решаем неравенство . На каждом из интервалов решения функция будет выпуклой вниз. Решая обратное неравенство , мы находим интервалы, на которых функция выпукла вверх (то есть вогнута).

Экстремумы функции. Функция y = f(x) называется возрастающей (убывающей) в некотором интервале, если при x1< x2 выполняется неравенство (f(x1) < f (x2) (f(x1) > f(x2)). Если дифференцируемая функция y = f(x) на отрезке [a, b] возрастает (убывает), то ее производная на этом отрезке f '(x) > 0 (f ' (x) < 0).Точка xо называется точкой локального максимума (минимума) функции f(x), если существует окрестность точки xо, для всех точек которой верно неравенство f(x) ≤ f(xо) (f(x) ≥ f(xо)). Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а значения функции в этих точках - ее экстремумами.

Точки перегиба графика функции. Точка называется точкой перегиба графика функции y = f(x), если в данной точке существует касательная к графику функции (она может быть параллельна оси Оу) и существует такая окрестность точки , в пределах которой слева и справа от точки М график функции имеет разные направления выпуклости.

7. Исследование функции с помощью производной: уравнения асимптот графика функции.

Прямая называется асимптотой графика функции, если расстояние от точек графика до этой прямой стремится к нулю при бесконечном удалении от начала координат вдоль графика функции. Асимптоты бывают вертикальные, наклонные и горизонтальные. Вертикальные асимптоты ищутся по точкам разрыва второго рода. Если в точке функция терпит бесконечный разрыв, то вертикальная прямая является вертикальной асимптотой. График функции имеет наклонную асимптоту при (соответственно при ), если существуют конечные пределы (соответственно ). При этом уравнение наклонной асимптоты . Если хотя бы один из двух пределов не существует (или бесконечен), то соответствующей наклонной асимптоты нет. Если и существует конечный предел , то асимптота является горизонтальной и её уравнение .