- •Функции. Определение, способы задания, элементарные функции, область определения и множество значений, свойства функций. Последовательность.
- •1. Функции. Определение, способы задания, элементарные функции, область определения и множество значений, свойства функций. Последовательность.
- •Предел последовательности и функции, определение и свойства предела; неопределённости, замечательные пределы.
- •3.Непрерывность и дифференцируемость. Определение и теоремы о непрерывности.
- •4.Определение, свойства, приложения производной и дифференциала.
- •5. Основные теоремы о дифференцируемых функциях: теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши, правило Лопиталя.
- •6. Исследование функции с помощью производной: интервалы монотонности, экстремумы функции, интервалы выпуклости, точки перегиба графика функции.
- •7. Исследование функции с помощью производной: уравнения асимптот графика функции.
- •8. Понятие о функции двух переменных. Область определения. Частные производные, полный дифференциал.
- •9. Функции n переменных. Область определения. Линии уровня. Кривые безразличия. Поверхности уровня. Предел. Непрерывность.
- •10. Функции n переменных. Градиент. Производная по направлению. Дифференцируемость и полный дифференциал.
- •11. Функции n переменных. Экстремумы. Определение. Необходимые и достаточные условия экстремума.
- •12. Неопределенный интеграл: определение, свойства, табличные интегралы.
- •13. Метод подстановки и метод интегрирования по частям.
- •14. Интегрирование рациональных алгебраических и тригонометрических выражений.
- •15. Определенный интеграл: определение, свойства, формула Ньютона-Лейбница.
- •16. Замена переменной и формула интегрирования по частям в определенном интеграле.
- •17. Геометрические приложения определенного интеграла.
- •18. Несобственные интегралы первого и второго рода. Признак сходимости несобственных интегралов.
13. Метод подстановки и метод интегрирования по частям.
Метод подстановки. Интегрирование путем введения новой переменной (метод подстановки) основано на формуле где х = ῳ(t) - дифференцируемая функция переменной t.
Метод интегрирования по частям позволяет свести исходный неопределенный интеграл к более простому виду либо к табличному интегралу. Этот метод наиболее часто применяется, если подынтегральная функция содержит логарифмические, показательные, обратные тригонометрические, тригонометрические функции, а также их комбинации.Формула интегрирования по частям следующая .То есть, подынтегральное выражение f(x)dx представляем в виде произведения функции u(x) на d(v(x)) - дифференциал функции v(x). Далее находим функцию v(x) (чаще всего методом непосредственного интегрирования) и d(u(x)) - дифференциал функции u(x). Подставляем найденные выражения в формулу интегрирования по частям и исходный неопределенный интеграл сводится к разности . Последний неопределенный интеграл может быть взят с использованием любого метода интегрирования, в том числе и метода интегрирования по частям.
14. Интегрирование рациональных алгебраических и тригонометрических выражений.
Интегрирование любого рационального выражения тригонометрических функций можно всегда свести к интегрированию алгебраической рациональной функции используя универсальную тригонометрическую подстановку x = 2arctg t (или ). Для преобразования рациональных выражений от sin x, cos x, tg x, ctg x, sec x и cosec x в алгебраические рациональные функции переменной t применяются следующие тригонометрические формулы:
|
|
|
|
|
|
Чтобы вычислить интеграл вида , где R - рациональная функция, используется подстановка . Аналогично, для вычисления интеграла вида , где R - рациональная функция, используется подстановка . Если подынтегральное выражение является только функцией tg x, то подстановка t = tg x преобразует такой интеграл в интеграл от рациональной функции. Для вычисления интеграла вида , где обе функции sin x и cos x входят в четной степени, применяется подстановка t = tg x и формулы
15. Определенный интеграл: определение, свойства, формула Ньютона-Лейбница.
Определение. Определённым интегралом от функции на отрезке называется предел интегральных сумм при стремлении ранга разбиения к нулю , если он существует независимо от разбиения R и выбора точек , т.е.
Свойства. Ниже предполагается, что f (x) и g (x) - непрерывные функции на замкнутом интервале [a, b]:
2) где k – константа; 3) 4) 5) Если для всех , то ; 6) ; 7) ; 8) Если в интервале [a, b], то .
Формула Ньютона-Лейбница. Пусть функция f (x) непрерывна на замкнутом интервале [a, b]. Если F (x) - первообразная функции f (x) на [a, b], то
16. Замена переменной и формула интегрирования по частям в определенном интеграле.
Замена переменной. Определенный интеграл по переменной x можно преобразовать в определенный интеграл относительно переменной t с помощью подстановки x = g (t): . Новые пределы интегрирования по переменной t определяются выражениями где g -1 - обратная функция к g, т.е. t = g -1(x).
Интегрирование по частям. В этом случае формула интегрирования по частям имеет вид: , где означает разность значений произведения функций uv при x = b и x = a.