Задача шевалье де Мере
Классическим и вместе с тем забавным является пример шевалье де Мере, когда ставший известным в веках, благодаря своей любознательности азартный игрок спросил себя: стоит ему ставить на выпадение двух шестерок одновременно при бросании двух костей 24 раза или нет? Его собственные вычисления показали, что стоит, так как вероятность данного события при 24 бросаниях костей больше 1/2. Как же он удивился, когда с течением времени обнаружил, что постоянно оказывается в проигрыше! Де Мере во всем обвинил статистику. И только знаменитый Паскаль указал ему на заблуждение: оказывается, вероятность данного события 0,49, следовательно, в длинной серии игр, состоящих из 24 подбрасываний двух костей, выигрыш происходит лишь в 49%, а не более чем в 50% играх, как рассчитывал де Мере. Шевалье обычно играл всю ночь, и для него было важно, чтобы более чем в половине игр он был в выигрыше.
Можно «мгновенно» решить эту задачу с помощью самых простых средств Statistica.
Создайте рабочий файл Spreadsheet.sta. Дважды щелкните на имени переменной и откройте окно спецификации переменной var1.
В нижней части окна в поле Long name запишите формулу, как показано на рисунок 1.7 а. Число испытаний в задаче шевалье 24. Вероятность успеха равна 1/36, потому что с такой вероятностью при бросании двух костей выпадают шестерки.
Нажмите кнопку OK в правом верхнем углу. Программа вычислит биноминальные вероятности. Результат представлен на рисунке 1.7 б.
В первом столбце этой таблицы даны последовательно вероятности выпадения двух шестерок один раз, два раза, три раза и т. д.
Шевалье де Мере спросил, стоит ли ему ставить на выпадение двух шестерок одновременно при бросании двух костей 24 раза или нет?
Нужно вычислить вероятность выпадения, по крайней мере, одной пары шестерок. Следовательно, все эти вероятности нужно сложить. Сделав это, вы получите ответ к классической задаче. Вероятность выпадения, по крайней мере, одной пары шестерок при 24 бросаниях пары костей равна 0,49140 (сумма биноминальных вероятностей на рисунке 1.7 б).
Таким образом, в длинной серии игр, состоящих из 24 бросаний пары костей, игрок, ставящий на выпадение двух шестерок одновременно, в среднем устойчиво проигрывает.
а) б) Рисунок 1.7 – Вероятности выпадения шестерок при 24 бросаниях двух костей: а) задание формулы; б) результат
Но вот вопрос: как изменить условия игры, чтобы находиться в выигрыше?
Будет ли выигрыш, если игра состоит из 25 бросаний, то есть ставка на выпадение пары шестерок в 25 бросаниях.
Итак, предположим, что шевалье де Мере изменил условия игры и стал ставить на выпадение пары шестерок в 25 бросаниях. Оказывается, увеличение числа бросков всего на 1 делает игру уже выигрышной.
В этом можно убедиться, по-прежнему работая с файлом Spreadsheet.sta.
Повторите все действия предыдущей задачи с переменной var2. Дважды щелкните на имени переменной и откройте окно спецификации переменной var2 (рисунок 1.8 а).
Заметьте, единственное отличие этой формулы от формулы в исходной задаче шевалье в том, что сделана ставка на число испытаний 25 вместо 24.
Нажмите кнопку OK в правом верхнем углу. Программа вычислит новые биноминальные вероятности и занесет их в значения переменной var2.
Теперь файл Spreadsheet.sta будет выглядеть следующим образом (рисунок 1.8 б).
а) б) Рисунок 1.8 – Вероятности выпадения шестерок при 25 бросаниях двух костей: а) задание формулы; б) результат
Складывая значения в столбце, легко найти, что вероятность выпадения, по крайней мере, одной пары шестерок в 25 подбрасываниях пары костей больше 0,5.
Если бы шевалье де Мере играл в такую игру, он находился бы в среднем в выигрыше, так как более чем в 50% игр, состоящих из 25 подбрасываний пары костей, по крайней мере, один раз выпадали бы шестерки.