Распределение χ-квадрат (хи-квадрат)

В списке распределений вероятностного калькулятора выберите Chi ? (χ-квадрат) (рисунок 3.4).

Рисунок 3.4 – Задание χ-квадрат-распределения в вероятностном калькуляторе

В строке df задайте 7 – число степеней свободы.

В поле р задайте 0,95. Нажмите кнопку Compute (Вычислить), в строке Chi ? вы увидите 0,95 – квантиль χ-квадрат-распределения с 7 степенями свободы (14,06714).

Выберите далее опцию Create Graph (Создать график) и вновь щелкните на кнопке Compute (Вычислить) либо просто нажмите Enter на клавиатуре, вы увидите график плотности и функции распределения χ-квадрат с 7 степенями свободы (рисунок 3.5).

Рисунок 3.5 – График плотности и функции распределения случайной величины χ-квадрат с 7 степенями свободы

Обратите внимание на то, что это распределение несимметрично и сосредоточено только на положительной полуоси.

Распределение χ-квадрат играет важную роль при исследовании оценки дисперсии нормальной выборки, а также при проверке зависимостей в таблицах сопряженности и в критериях согласия.

Задания для выполнения

1. С помощью вероятностного калькулятора вычислите значения распределений F-Фишера, t-Стьюдента и χ-квадрат при различных значениях степеней свободы для уровня надежности 0,95.

2. Дайте объяснение полученным результатам.

Таблица 3.1 – Варианты заданий

№ задания	Распределение	Степени свободы
		df1	df2
1	F-Фишера	1	10
2	F-Фишера	2	10
3	F-Фишера	3	10
4	F-Фишера	4	10
5	F-Фишера	5	10
6	F-Фишера	10	1
7	F-Фишера	10	2
8	F-Фишера	10	3
9	F-Фишера	10	4
10	F-Фишера	10	5
11	F-Фишера	10	10
12	t-Стьюдента	1
13	t-Стьюдента	2
14	t-Стьюдента	3
15	t-Стьюдента	10
16	t-Стьюдента	20
17	t-Стьюдента	50
18	χ-квадрат	1
19	χ-квадрат	3
20	χ-квадрат	5
21	χ-квадрат	10
22	χ-квадрат	20
23	χ-квадрат	100

Лабораторная работа 4 Разнообразие значений признака (ms Excel)

Цель работы: Научить выполнять первичную обработку данных в табличном редакторе MS Excel.

Краткие теоретические сведения

Всякая группа состоит из особей или объектов, отличающихся друг от друга по каждому из признаков.

Средняя величина какого-нибудь признака определяется для того, чтобы получить характеристику этого признака для всей изучаемой группы в целом:

. (4.1)

Степень разнообразия особей в группе по изучаемому признаку измеряется несколькими показателями, из которых наибольшее значение имеет стандартное отклонение:

. (4.2)

Скошенность кривой называется асимметрией:

. (4.3)

Правосторонняя асимметрия – отрицательна, левосторонняя – положительна.

Отклонение крутизны называют эксцессом:

. (4.4)

Эксцесс положителен при островершинной кривой, отрицателен при плосковершинной.

Ошибка средней арифметической:

. (4.5)

Ошибка стандартного (среднего квадратического) отклонения:

. (4.6)

Ошибка показателя асимметрии:

. (4.7)

Ошибка показателя эксцесса:

. (4.8)

Проверка выбросов (выпадов, артефактов) должна проводиться всегда перед началом обработки полученных первичных данных. Если подтвердится, что резко выделяющееся значение действительно не может относиться к объектам данной группы, и попало в записи вследствие ошибок внимания, следует такой выброс исключить из обработки. Проверка выбросов может производиться по критерию, равному нормированному отклонению выброса:

, (4.9)

где:

Т – критерий выброса;

– выделяющееся значение признака (или очень большое или очень малое);

μ,  – средняя и сигма, рассчитанные для группы, включающей артефакт;

T_st – стандартные значения критерия выбросов, определяемых по таблице 4.1.

Таблица 4.1 – Стандартные значения критерия выбросов (T_st)

n	Tst	n	Tst	n	Tst	n	Tst
2	2,0	16 – 20	2,4	47 – 66	2,8	125 – 174	3,2
3 – 4	2,1	21 – 28	2,5	67 – 84	2,9	175 – 349	3,3
5 – 9	2,2	29 – 34	2,6	85 – 104	3,0	350 – 599	3,4
10 – 15	2,3	35 – 46	2,7	105 – 124	3,1	600 – 1500	3,5

Если Т ≥ T_st, то анализируемое значение признака является выбросом. Альтернатива Т < T_st не позволяет исключить из анализа значение признака.

Для того чтобы оценить генеральный параметр для количественных признаков в форме доверительных границ необходимо:

1. Проверить на нормальность распределения исходных данных.

2. Установить число степеней свободы по правилам, приведенным при описании оценки каждого параметра.

3. Установить, исходя из ответственности исследования, порог вероятности безошибочных прогнозов (β₁ = 0,95, β₂= 0,99, β₃= 0,999).

4. В соответствии с числом степеней свободы найти значение критерия надежности t по таблице стандартных значений критерия Стьюдента. При отсутствии таблицы показатель надежности для данного исследования можно приближенно определить по приведенным формулам. Если объем выборки превышает нижние пределы больших выборок (n > 30, n > 100, n > 200), то показатели надежности берутся постоянные для каждого порога вероятности: t₁ = 2,0; t₂ = 2,6; t₃ = 3,3.

5. Рассчитать ошибку выборочного показателя.

6. Определить возможную погрешность оценки генерального параметра, помножив критерий надежности на ошибку репрезентативности: .

7. Установить доверительные границы генерального параметра; возможный максимум и гарантированный минимум .