3.2 Метод полного факторного эксперимента

Рассматриваемый метод факторного эксперимента позволяет по­лучить математическое описание (математическую модель исследуемого процесса в некоторой локальной области, факторного пространства, лежачей в окрестности точки с координатами (х_о1, х_о2, …х_оn), ограниченной заданными интервалами факторов (∆х_i) (см. рис. 3.1).

Для удобства планирования и обработки результатов осуществляет переход от натуральных значений переменных к кодированным. Для этого переносят начало координат факторного пространства в центр исследуемого пространства (из точки 0 в точку 0)

i = (1, 2, …n), (3.1)

где ∆х_i - масштаб по оси;

х_i - величина кодированной переменной:

х_i - величина натуральной переменной.

Метод полного факторного эксперимента служит для получения математического описания процесса в виде отрезка ряда Тейлора (3.2). При этом обычно ограничиваются линейной частью разложения и членами, содержащими произведения факторов в первой степени. Таким образом, удается находить уравнение локального участка поверхности, если его кривизна не очень велика.

Представим функцию отклика в окрестности нового начала ко­ординат в виде ряда Тейлора:

(3.2)

где значение функции отклика в начале координат -

Коэффициенты искомого уравнения (3.2) определяются на основе экспериментальных данных и поэтому несут на себе отпечаток погрешностей эксперимента.

Чтобы отразить это обстоятельство, в уравнении вместо символов , обозначающих истинные значения коэффициентов пишут b , подразумевая под этим соответствующие выборочные оценки.

Таким образом, с помощью полного факторного эксперимента ищут математическое описание процесса в виде уравнения:

(3.3)

или

(3.4)

Это и называют уравнением регрессии, а коэффициенты, входящие в него, - коэффициентами регрессии.

Для удобства вычислений коэффициентов все факторы в ходе полного факторного эксперимента варьируют на двух уровнях, соответствующих .значениям кодированных переменных + 1 и –1, переби­рая возможные комбинации факторов.

Например, в таблице 3.1 приведены условия опытов полного двухфакторного эксперимента, а в таблице 3.2 - полного трехфакторного эксперимента. Часть таблиц, обведенная пунктиром, назы­вается матрицей плакирования.

Таблица 3.1

Полный двухфакторный эксперимент (ПФЭ-2²)

Номер опыта	Факторы		Функция отклика yi
	x1	x2
1	-1	-1	y1
2	+1	-1	y2
3	-1	+1	y3
4	+1	+1	y4

Таблица 3.2

Полный трехфакторный эксперимент (ПФО- 2³)

Номер опыта	Факторы			Функция отклика yi
	x1	x2	x3
1	-1	-1	-1	y1
2	+1	-1	-1	y2
3	-1	+1	-1	y3
4	+1	+1	-1	y4
5	-1	-1	+1	y5
6	+1	-1	+1	y6
7	-1	+1	+1	y7
8	+1	+1	+1	y8

Опыты полного двухфакторного эксперимента соответствуют вершинам квадрата на факторной плоскости (рис. 3.2), а трехфакторного - вершинам куба (рис. 3.3). Центры этих фигур совпадают с началом координат.

Из таблиц 3.1 и 3.2 видны основные принципы построения мат­риц плакирования полного факторного эксперимента:

- уровни варьирования первого фактора чередуется от опыта к опыту;

- частота смены уровней каждого последующего - фактора вдвое меньше предыдущего.

Матрица планирования полного факторного эксперимента обладает следующими свойствами:

а) ; б) ; в)

(где )

здесь:

N - число опытов полного факторного эксперимента;

j - номер опыта;

i, I, - номер факторов.

Свойство, выраженное уравнением (3.5), называется ортогональностью. Поэтому говорят, что матрица полного факторного экс­перимента ортогональна. Это свойство позволяет вычислить коэффи­циенты регрессии по простым формулам независимо друг от друга.

Общее количество опытов в матрице планирования равно:

(3.5),

где:

n - число факторов.

На основе результатов полного факторного эксперимента вычисляют коэффициенты регрессии по следующим формулам:

, (3.7)

, (3.8)

(где ) (3.9)

Некоторые из коэффициентов регрессии могут оказаться пренебрежимо малыми - незначительными. Чтобы установить значим ко­эффициент или нет, необходимо вычислить оценки дисперсии, с которой он определяется:

(3.10)

Нужно отметить, что в полном факторном эксперименте все коэффициенты определяются с одинаковой погрешностью.

Считают, что коэффициент регрессии значим, если выполнено условие:

, (3.11)

где:

t - значение критерии Стьюдента (см. Приложение 2).

В противном случае коэффициент регрессии назначим и соответствующий член из уравнения регрессии можно исключить.

Получив регрессии, следует проверить его адекватность, т.е. способность достаточно точно описывать поверхность отклика. Такую проверку осуществляют с помощью критерия Фишера, который определяют из отношения:

, (3.12)

где - оценка дисперсии адекватности.

В числителе дроби (3.12) находится большая, а в знаменателе - меньшая из указанных оценок дисперсий.

Оценку дисперсии адекватности вычисляют по формуле

, (3.13)

где

В - число коэффициентов регрессии искового уравнения, включая и свободный член;

- экспериментальное и расчетное значении функции отклика в j-м опыте;

N - число опытов полного факторного эксперимента.

С оценкой дисперсии адекватности связано число степеней свободы

(3.14)

Уравнение регрессии считается адекватным, т.е. описывает изучаемый процесс с достаточной точностью, если выполняется условие:

, (3.15)

где

- значение критерии Фишера (из Приложения 4).

Для определения из таблицы (Приложение 4). Необходимо знать число степеней свободы, связанных с числителем и знаменателем выражения (3.12).