3.2.Представление результатов измерений

Практикой обработки результатов измерительных экспериментов выработаны правила округления результатов, которые по соглашению признаются и применяются при выполнении любых измерений. Погрешность результата измерения физической величины должна давать представление о том, какие цифры в его числовом значении являются сомнительными. Поэтому числовое значение результата измерения должно быть представлено так, чтобы оно оканчивалось десятичым знаком того же разряда, что и значение его погрешности. Большее число разрядов не имеет смысла, так как не уменьшает неопределенность результата, а меньшее, которое может быть получено путем округления, увеличивает неопределенность. Поэтому погрешность результата измерения нецелесообразно выражать большим числом цифр. Достаточно ограничиться одной значащей цифрой или двумя, если вторая цифра 5. Две значащие цифры используются только при определении погрешности ответственных точных измерений.

Для округления и записи результатов измерений используются следующие правила.

1. Результат измерения определяется так, чтобы он оканчивался цифрой того же разряда, что и значение его погрешности, при этом нули в десятичной дроби числового значения результата отбрасываются только до того разряда, который соответствует разряду числового значения погрешности.

2. Если цифра старшего из отбрасываемых разрядов меньше 5, то остающиеся цифры числа не изменяются. При этом лишние цифры в целых числах заменяются нулями, а в десятичных дробях отбрасываются.

3. Если цифра старшего из отбрасываемых разрядов больше или равна 5, а за ней следуют отличные от нуля цифры, то последняя оставляемая цифра увеличивается на единицу.

4. Если отбрасываемая цифра равна 5, а следующие за ней цифры неизвестны или нули, то последнюю сохраняемую цифру числа не изменяют, если она четная, и увеличивают на единицу, если она нечетная.

Число значащих цифр в числовом значении результата измерения при использовании приведенных правил позволяет ориентировочно судить о точности измерения.

3.3. Выполнение и обработка экспериментальных данных прямых

измерений. Лабораторная работа № 4.

Ц е л ь р а б о т ы: изучение методик выполнения и обработки экспериментальных данных прямых многократных и однократных измерений.

З а д а н и е н а р а б о т у:

1.Изучить теоретические материалы к лабораторной работе и материалы, приведенные на стр.42-45 данного практикума.

2.Экспериментальным путём определить, какие (однократные или многократные) измерения необходимо осуществить для каждого из измеряемых параметров.

3.Выполнить многократные измерения одного из параметров (по за­данию

преподавателя).

4.Выполнить однократное измерение.

5.Обработать полученные экспериментальные данные.

Т е о р е т и ч е с к и е о с н о в ы р а б о т ы

Обработка экспериментальных данных прямых многократных измерений

В настоящее время обработка экспериментальных данных прямых многократных измерений в нашей стране регламентируется государственным стандартом, который в общем случае предусмат­ривает выявление закономерности поведения случайной погрешности (определения закона распределения) и статистические процедуры исключения грубых погрешностей.

В практике обработки экспериментальных данных чаще всего при­ходится сталкиваться со случаями, когда число измерений мало (не превышает 5 - 15).

В этих случаях пользуются вполне оправданным предположением о том, что закон распределения случайной погрешности является нор­мальным (нормальный закон распределения вообще является наиболее распространенным законом распределения случайных величин, в том числе случайных погрешностей), а грубые погрешности не выявляются или определяются и отбрасываются интуитивно. Обработка экспериментальных данных прямых многократных измерений в соответствии с упо­мянутым выше стандартом базируется на теоретических положениях математической статистики, которые предполагают определение вместо характеристик нормального распределения их оценок. Так, вместо ма­тематического ожидания М[X] (является первым основным па­раметром нормального закона распределения), т.е. значения величины, вокруг которого группируются результаты отдельных измерений (при бесконечном числе измерений), определяется его оценка, которая представляет собой среднее арифметическое :

М[X]  = ,

(3.4)

где X_i - результат i -го измерения;

n - число измерений.

Второй параметр нормального закона распределения - среднеквадратическое отклонение , характеризующее рассеяние результатов отдельных измерений относительно математического ожидания, опре­деляется оценкой по формуле:

  S = ,

(3.5)

Оценка среднеквадратического отклонения результата измерений определяется по формуле:

S( ) = = .

(3.6)

При обработке экспериментальных данных прямых многократных измерений принято вычислять интервальную оценку погрешности, которая определяется с использованием погрешности S( ), на­зываемой точечной, и представлений о доверительном интервале и доверительной вероятности.

Доверительным интервалом с границами (или доверительными граница­ми) от - до + называют интервал значений случайной погрешности, который с заданной вероятностью Р_д, называемой до­верительной, накрывает истинное значение измеряемой величины. Обычно задаются значением доверительной вероятности (чаще всего Р_д = 0.95) и определяют значение доверительного интерва­ла.

При малом числе измерений (n  20) и использовании нормального закона не представляется возможным определить доверитель­ный интервал, так как нормальный закон распределения описывает поведе­ние случайной погрешности в принципе при бесконечно большом числе измерений. Поэтому, при малом числе измерений используют распределе­ние Стьюдента или t - распределение (предложенное английским статистиком Госсетом, публиковавшимся под псевдонимом «студент»), которое обеспечивает возможность определения доверительных интер­валов при ограниченном числе измерений. Границы доверительного интервала при этом определяются по формуле

= t S( ) ,

(3.7)

где t - коэффициент распределения Стьюдента, зависящий от задаваемой доверительной вероятности Р_д и числа измерений n.

Коэффициент t обычно определяется по таблице (см. приложение) или рассчитывается по сложной формуле, описывающей распреде­ление Стьюдента.

Последовательность обработки экспериментальных данных прямых многократных измерений для наиболее простого и типичного случая приведена на рис.3.1. В данном случае предполагается, что:

-результаты измерений являются исправленными, т.е. из них исключены систематические погрешности;

-неисключенные систематические погрешности настолько малы, что ими можно пренебречь;

-результаты измерений являются равнорассеянными (равноточными) одинаково распределенными величинами (такие результаты получаются при выполнении измерений одним оператором с помощью одних и тех же средств измерений);

-из результатов измерений исключены промахи и грубые погрешнос­ти

-число измерений не превосходит 15 (в этом случае признается и не проверяется нормальность распределения случайных погрешнос­тей).

1	Получение n результатов наблюдений
2	Вычисление среднего арифметического по формуле (3.4)
3	Вычисление оценки среднеквадратического отклонения результата измерения по формуле (3.6)
4	Принятие значения доверительной вероятности Рд (обычно Рд = 0.95)
5	Определение коэффициента t в зависимости от Рд и n по таблице распределения Стьюдента
6	Определение доверительных границ случайной погрешности по формуле (3.7)
7	Запись результата измерений с использованием правил округления в виде: А =  (Рд= ; n= )

Рис. 3.1

Обработка экспериментальных данных прямых однократных измерений.

Ввиду того, что однократные измерения проводятся при условиях, когда всеми погрешностями, кроме погрешностей средств измерений (инструментальные погрешности) можно пренебречь, результат прямого однократного измерения представляется в виде

А =   ,

(3.8)

где - значение физической величины, найденное по шкале измерительного прибора;

 - абсолютная погрешность для найденного значения , определяемая классом точности  средства измерений.

Класс точности средства измерений - обобщенная характеристика точности средства измерений (см. на стр.27).

В подавляющем большинстве случаев класс точности нормируется приведенной  или относительной  погрешностью:

 =  = ,

(3.9)

или

 =  = ,

(3.10)

где X_в и X_н верхний и нижний пределы измерений используемого средства измерений.

Значение класса точности указывается на шкалах или корпусах изме­рительных устройств. При этом, если число, определяющее класс точ­ности, заключено в окружность - , то класс точности устройства следует определять по формуле (3.10 ), в противном случае - по формуле (3.9).

Таким образом, в каждом конкретном случае для определения значения  в формуле (3.8) необходимо выполнить вычисления по формулам, полученным из выражений (3.9) и (3.10), соответственно:

 = ,

(3.11)

 = .

(3.12)

О п и с а н и е л а б о р а т о р н о г о с т е н д а

Лабораторный стенд (рис.3.2) содержит четырёхзонную печь 1, температура в каждой из зон которой измеряется индивидуальным термо­электрическим преобразователем ТЭП (принцип действия ТЭП основан на термоэлектрическом эффекте, в соответствии с которым при нагре­вании спая из двух разнородных проводников на свободных концах этих проводников возникает ЭДС) и цифровым измерительным прибором 2, который способен, измеряя ЭДС ТЭП, представлять информацию не­посредственно в единицах температуры на цифровом табло. ТЭП под­ключаются к прибору 2 через клеммы 3 и переключатель 4, размещен­ные на лицевой панели стенда. На этой панели также размещены сиг­нальная лампа 5, предохранитель 6 и тумблер 7. Кнопки 8 и 9 служат для включения цифрового измерительного прибора в работу. Стенд подключается к электрической сети с помощью вилки 10.

П о р я д о к в ы п о л н е н и я р а б о т ы

1.С помощью вилки10 подключить стенд к электрической сети.

2.Тумблер 7 перевести в положение "Вкл". При этом должна за­жечься сигнальная лампа 5.

3.Включить цифровой прибор, нажав кнопки 8 и 9.

4.С помощью переключателя 4 подключить к прибору 2 четвертый ТЭП и дождаться момента времени, когда показания прибора практи­чески перестанут изменяться (допускаются изменения показаний прибора на 1/2 младшего разряда). Обычно печь выходит на стационарный режим через 15 - 20 минут.

5.С помощью переключателя 4 подключить к прибору 2 первый ТЭП. Считать и записать показания прибора 2 через 15 с, выполнив 10 - 15 отсчетов. Результаты занести в таблицу 3.1.

6.Операции по п.5 повторить для второго, третьего и четвертого ТЭП. Для каждой зоны печи определить максимальное Т_макс, минимальное Т_мин значения температуры, а также разность Т_макс- Т_мин.

7.Проанализировать результаты измерений, сделать вывод о диффузионности измеряемой температуры четырех зон печи и определить какие измерения (однократные и многократные) следует выполнять в каждой из зон.

8.Выполнить многократные и однократное измерения в двух (по указанию преподавателя) зонах нагревательной печи. При выполнении многократных измерений отсчеты выполнять через 15 с, а число отсчетов принять равным 10 - 15.

9.Результаты измерений занести в табл. 3.2 и 3.3.

10.С помощью кнопки 8 и тумблера 7 выключить стенд и отсоединить вилку от электрической сети.

11.Обработать результаты многократных измерений. Результаты вычислений занести в таблицу 3.2.

12.Обработать результаты однократного измерения. Результаты вычис­лений занести в таблицу 3.3.

Таблица 3.1

Результаты определения диффузионности температур в зонах печи

№ измерения	Температура, С
	Зона 1	Зона 2	Зона 3	Зона 4
1 2 ...... 15
Максимальная температура, Тмакс, С
Минимальная температура, Тмин, С
Разность температур, (Тмакс - Тмин)С

Таблица 3.2

№ пп	Результа- ты отдель-ных изме-рений, Тi, С	Значения оценок		Коэффициент, t	Доверитель-ный интер-вал, , С	Резуль-тат, А, С
		, С	S( ), С

Таблица 3.3

Показания прибора, , С	Класс точности, 	Абсолютная погрешность, , С	Результат, А, С