3.2. Метод планов

Ось вращения первого звена относительно базовой системы координат совпадает с осью . Исходя из величины скорости равной по величине , примем масштаб . Из полюса , являющегося началом системы координат плана угловых скоростей, проводим отрезок длиной 50 мм вдоль оси вращения (рис. 5). Скорость совпадает с , так как второе звено совершает поступательное движение. Результирующая скорость имеет две составляющие: и . Скорость известна и в соответствии с рис. 4, направлена под углом 30 градусов к оси X в плоскости . Из конца вектора проводим отрезок длиной 50 мм в указанном направлении. Соединяя точку полюса с концом построенного вектора , получим искомый вектор . Измеряя длины отрезков, можно получить значения искомых параметров и сравнить с аналитическим расчетом.

Рисунок 5. П лан угловых скоростей

Построение плана угловых ускорений (рис. 6) начинаем с определения полюса и величины масштаба в соответствии с угловым ускорением , направленного, как и вдоль оси . Примем масштаб . Из полюса , являющегося началом системы координат плана угловых скоростей, проводим отрезок длиной 40 мм. Ускорение второго звена совпадает с . По законам ТММ, угловое ускорение третьего звена определяется следующим выражением:

. (57)

Относительное ускорение равно и в соответствии с рис. 4, направлено под углом 30 градусов к оси Y в плоскости . В указанном направлении, из конца вектора в той же плоскости проводим отрезок длинной 40 мм, характеризующий угловое ускорение третьего звена относительно первого. Составляющая имеет величину:

(58)

и направлена под углом 30 градусов к оси Y, однако лежит в отрицательной области оси Х плоскости . Из конца вектора , проводим отрезок длиной 50 мм. Отрезок, соединяющий полюс плана и конец вектора , будет искомым угловым ускорением третьего звена.

Построение плана линейных (рис. 7) скоростей начинаем с определения полюса . Точки О и А не имеют линейных скоростей. Точка В принадлежит поступательному звену, однако лежит на линии вращения поступательного звена и потому равна нулю. Линейная скорость точки С, складывается из двух составляющих: относительной скорости движения второго звена относительно первого и произведения угловой скорости второго звена на проекцию этого звена в абсолютной системе координат.

Рисунок 6. П лан угловых ускорений

В соответствии с рис. 4, вектор скорости направляется противоположно оси под углом в 30 градусов. Величина составляет 0,5 м/с (табл. 4). Принимаем масштаб плана скоростей и проводим отрезок характеризующий длиной 50 мм. Составляющая угловой скорости в , направлена перпендикулярно и равна произведению:

. (59)

Из конца , проводим отрезок длиной 20 мм и по правилу треугольника, достраиваем вектор .

Построение скорости точки D осуществляется путем сложения скорости точки С и . Относительная скорость , так как вид кинематической пары D – вращательная. На рис.7, скорость лежит в плоскости , так как движение второго звена осуществляется только относительно оси . Однако, имеет уже три составляющие и лежит в пространстве, образуя параллелепипед. Диагональ параллелепипеда лежит под углом 30 градусов к оси X и под углом 60 градусов к оси Z (в соответствии с рис. 4). Составляющая по оси Z, определяется длиной , а составляющие по осям Х и Y, обоими элементами составного звена. Соединение точки полюса плана с концом построенного вектора дает искомый вектор .

Анализируя план линейных скоростей, можно сказать, что линейная скорость точки D, в первую очередь определяется величиной скорости поступательного звена, а вращательные звенья манипулятора в таком случае выступают в качестве ориентирующих.

Рисунок 7. П лан линейных скоростей

Построение плана линейных ускорений (рис. 8) начинаем с определения полюса . Точки О, А и В не имеют линейных ускорений. Линейное ускорение точки С, складывается из составляющих релятивного ускорения (обусловлено относительным ускорением второго звена относительно первого, определяется аналогично переносной скорости , направлено вдоль звена), нормального (обусловлено угловой скоростью второго звена, определяется проецированием на базовую систему координат, направлено к центру вращения с учетом проекции звена), касательного (обусловлено угловым ускорением второго звена, определяется проецированием на базовую систему координат, направлено перпендикулярно касательному ускорению), и ускорения Кориолиса (обусловлено сложным характером движения – вращательное второго звена и поступательное первого звена, с учетом не параллельности главных осей звеньев):

. (60)

С учетом правил построения векторов ускорений, имеем, что сонаправлены пары ускорений с и с . Как и для скорости , результирующий вектор должен лежать в плоскости . На первом этапе построения плана линейных ускорений, выполним построение векторов, составляющих . Вектор направлен противоположно (см. рис.7) – под углом 30 градусов к оси . Из табл. 3, величина . Принимаем масштаб плана ускорений . Проводим отрезок длиной 10 мм. Аналогично направленный по второму звену вектор , определяется произведением квадрата угловой скорости на длину второго звена:

. (61)

Проводим отрезок длиной 10 мм из конца вектора в том же направлении. Перпендикулярно направленный вектору , вектор , определяется величиной:

. (62)

Проводим отрезок длиной 8 мм из конца вектора в перпендикулярном направлении. Величина кариолисова ускорения определяется величиной:

. (63)

Из конца вектора , проводим отрезок длиной 50 мм, характеризующий . Складывая длины четырех указанных векторов, получаем ускорение .

Точка D принадлежит вращательному звену 3, потому ускорение не имеет составляющей релятивного ускорения, а так как главные оси второго и третьего звеньев параллельны, то отсутствует и кориолисово ускорение. Остаются составляющая , а так же нормальная и тангенциальная составляющие:

. (64)

Достраивая взаимоперпендикулярные вектора и , получаем искомое ускорение точки D .

Анализируя план линейных ускорений, делаем вывод о том, что ускорение точки D в первую очередь определяется ускорением Кориолиса, зависящим от достаточно высокого значения линейной скорости второго звена (см. табл. 4). Необходимо отметить и то, что. Достаточно малы значения нормальной и касательной составляющих для третьего звена, по причине малых габаритов этого звена. Пример плана линейных ускорений наглядно доказывает то, что третье звено в манипуляторе предназначено в первую очередь для ориентирующей функции, а кинематическую функцию исполняет второе звено.

Рисунок 8. П лан линейных ускорений