- •Постановка краевых задач
- •Метод Грина
- •Метод разделения переменных
- •Метод интегральных уравнений
- •Уравнения параболического типа Постановка задач
- •Краевые задачи для ограниченных областей
- •Задачи для неограниченных областей
- •Метод отображений для полуограниченных областей
- •Сравнение метода Грина и метода разделения переменных
- •Метод комплексных амплитуд
- •Телеграфные уравнения
- •Уравнений в частных производных
- •Постановка задач и общие свойства
- •Метод разделения переменных
- •Метод распространяющихся волн
- •Метод отражений
Задачи для неограниченных областей
к определению функции Грина
Выразить интеграл I= , где a,b,c,p,q - произвольные константы, через известную специальную функцию - "интеграл ошибок" erf(z)= . Найти предельное значение интеграла I при интегрировании по всей числовой оси от - до +. При каких значениях константы a он будет сходиться ?
декартова система координат
В нулевой момент времени одномерное распределение температуры Т(x,0) , определенное на всей числовой оси -<x< было отлично от нуля только на отрезке [-h;h] , где оно оставалось постоянным и равным Т0. Выразить распределение температуры в последующие моменты времени через "интеграл ошибок", предполагая, что источники тепла во всем пространстве отсутствуют.
Найти решение задачи Коши для однородного одномерного уравнения теплопроводности, если начальное распределение температуры описывалось функцией T(x,0)=T0 sign(x), -<x<.
В цилиндре бесконечной длины с непроницаемой боковой поверхностью концентрация некоторого вещества в начальный момент t=0 была распределена таким образом, что при x<0 она равнялась постоянной величине с1, а при x>0 - постоянной величине с2 , где x - координата, отсчитываемая вдоль оси цилиндра. Найти функцию, описывающую перераспределение вещества в последующие моменты времени в результате диффузии. Как изменится решение на правой полуоси, если в левой половине цилиндра концентрация будет поддерживаться постоянной и равной с1 ?
Метод отображений для полуограниченных областей
декартова система координат
Найти функцию, описывающую остывание полубесконечного стержня 0<x< с теплоизолированной боковой поверхностью, если он был равномерно нагрет до температуры Т0, а в некоторый момент времени t=to его торец x=0 приведен в контакт с термостатом, сохраняющим нулевую температуру.
В момент времени t=t0 торец полубесконечного стержня с теплоизолированной боковой поверхностью приведен в контакт с термостатом, имеющим температуру Т0. Считая температуру стержня до момента контакта нулевой, определить как будет нагреваться стержень в последующие моменты времени.
сферическая система координат
Используя функцию Грина для уравнения теплопроводности на бесконечной прямой, решить задачу о диффузии газового облака радиуса R в неограниченном пространстве, если в начальный момент концентрация газа внутри облака была постоянной, а вне его равнялась нулю. Как определить момент времени t0, в который концентрация газа на расстоянии R0 от центра облака (R0>R) будет достигать максимума ?
Ответ:
u(r,t)={[exp(-p²)-exp(-q²)]+2[erf(q)‑efr(p)]}Uo√(σt)/2r ,
где p=(r+R)/ √(4σt) , q=(r‑R)/ √(4σt)
На поверхности Земли расположен полусферический источник радиоактивного вещества (саркофаг), с единицы поверхности которого за единицу времени в окружающее пространство выделяется одно и то же количество вещества. Считая, что выделяющееся вещество распространяется в воздухе по законам диффузии, а поверхность Земли является плоской и непроницаемой для вещества, найти распределение вещества в окружающем пространстве в различные моменты времени, начиная с t=0, при котором началось выделение вещества.