- •Постановка краевых задач
- •Метод Грина
- •Метод разделения переменных
- •Метод интегральных уравнений
- •Уравнения параболического типа Постановка задач
- •Краевые задачи для ограниченных областей
- •Задачи для неограниченных областей
- •Метод отображений для полуограниченных областей
- •Сравнение метода Грина и метода разделения переменных
- •Метод комплексных амплитуд
- •Телеграфные уравнения
- •Уравнений в частных производных
- •Постановка задач и общие свойства
- •Метод разделения переменных
- •Метод распространяющихся волн
- •Метод отражений
Метод разделения переменных
Методом разделения переменных решить задачу о свободных колебаниях струны с жестко закрепленными концами, если до момента t=0 все ее точки были неподвижны, а начальные отклонения описывались функцией:
Построить энергетический спектр колебаний для гармоник с n=1,2,3,4,5.
Методом разделения переменных решить задачу о свободных колебаниях струны с жестко закрепленными концами, если в момент струна проходила через положение равновесия таким образом, что распределение скоростей различных ее точек описывались функцией:
Построить энергетический спектр колебаний для гармоник с n=1,2,3,4,5.
Вертикально подвешенный упругий стержень длины lрастянут под действием собственного веса и неподвижен. В момент времени t=0 он отрывается от подвеса и начинает свободное падение. Решить задачу о возникающих при этом продольных колебаний стержня.
Под действием внешних сил, приложенных к торцам горизонтального стержня длины l, его длина сократилась на величину . В момент времени действие внешних сил мгновенно прекратилось. Найти функцию, описывающую продольные колебания стержня с незакрепленными торцами.
Методом разделения переменных решить задачу о свободных колебаниях круглой мембраны радиуса с жестко закрепленными краями и начальными условиями вида
,
, .
Методом разделения переменных решить задачу о свободных колебаниях мембраны, имеющей форму прямоугольника со сторонами A, B с жестко закрепленными краями и начальными условиями вида:
,
.
При движении прямоугольной мембраны с жестко закрепленными краями возникают силы вязкого трения, плотность которых пропорциональна первой степени скорости. Найти значение коэффициента вязкого трения , при котором мембрана, будучи отклоненной, первоначально по закону с нулевой начальной скоростью, возвратится в положение равновесия за наиболее короткое время.
Найти собственные частоты и собственные функции акустического резонатора, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда со сторонами A, B и С.
Метод распространяющихся волн
Неограниченная струна возбуждена локальным начальным отклонением, имеющим вид параболы на отрезке и тождественно равна нулю вне этого отрезка. Начертить форму струны для моментов времени
Неограниченной струне в положении равновесия сообщены начальные скорости, распределение которых на отрезке имеет вид полуволны и тождественно равно нулю вне этого отрезка. Начертить форму струны для моментов времени , где k=0,1,2,3,4,5 с – скорость распространения волн.
18. В момент времени t=0 неограниченная струна возбуждена начальным отклонением U(x), имеющим вид двух равнобедренных треугольников с высотами h1 и h2 и основаниями, лежащими, соответственно на отрезках [a1;b1] и [a2;b2]. В какой точке x и в какой момент времени t>0 отклонение струны будет максимальным? Какова величина этого отклонения?
19. Неограниченной струне в положении равновесия сообщены начальные скорости, распределение которых на отрезке [-a;a] имеет вид волны V(x)=sin( x/a) и тождественно равно нулю вне этого отрезка. Начертить форму струны для моментов времени tk=ka/4c, где k = 0,1,2,3,4; c - скорость распространения волн.