- •III семестр. Ммф нгу
- •Конспект лекций1
- •2003 – 2004 Учебный год
- •Содержание
- •Лекция 1. Традиционные задачи линейной алгебры
- •Векторные и матричные нормы
- •Число обусловленности
- •Лекция 2. Прямые методы решения линейных уравнений Метод исключения Гаусса – схема единственного деления
- •Теорема об lu разложении
- •Разложение Холесского
- •Метод квадратного корня
- •Метод вращений решения системы уравнений Элементарная матрица вращения
- •–Ый шаг метода вращений
- •Решение системы с вырожденной матрицей –разложение с перестановками столбцов матрицы
- •Совместность системы с вырожденной матрицей
- •Применение –разложения с перестановками столбцов для решения совместной системы
- •Метод прогонки решения систем с трехдиагональной матрицей –разложение трехдиагональной матрицы :
- •Формулы метода прогонки для системы :
- •Асимптотическая скорость сходимости
- •Метод Зейделя (Гаусса–Зейделя, Некрасова)
- •Необходимое и достаточное условие сходимости метода Зейделя в случае симметричной матрицы с положительной главной диагональю
- •Лекция 7. Функционал ошибки
- •Метод полной релаксации
- •Метод неполной релаксации
- •Метод минимальных невязок
- •Метод простой итерации
- •Оценки сходимости мнс и ммн
- •Лекция 9. Метод Ричардсона с чебышевскими параметрами Задача оптимизации параметров
- •Полином Чебышева и решение задачи оптимизации параметров
- •Циклический метод Ричардсона: формулы и сходимость
- •Об устойчивости метода Ричардсона
- •Трехчленные формулы реализации метода Ричардсона с чебышевскими параметрами
- •Лекция 10. Многошаговые методы. Вариационная оптимизация
- •Метод сопряженных градиентов
- •Переобуславливатель
- •Положительно определенные матрицы
- •Лекция 11. Проблема собственных значений
- •Корректность задачи на собственные значения
- •Степенной метод вычисления максимального собственного значения матрицы
- •Степенной метод вычисления минимального собственного значения матрицы
- •Применение ортогонализации и степенного метода для вычисления очередного собственного значения
- •Лекция 12. Метод деления пополам (бисекций)
- •Идея метода бисекций вычисления
- •Приведение самосопряженной матрицы к трехдиагональному виду ортогональным преобразованием подобия с помощью матриц вращения
- •Якобиевы матрицы
- •О вычислении чпз
- •О вычислении собственного вектора
- •Лекция 13. Метод вращений (Якоби)
- •Выбор вращения
- •Сходимость собственных значений
- •Сходимость собственных векторов
- •Литература
Якобиевы матрицы
Вещественная матрица
,
называется якобиевой (у нас ).
Лемма 3. |
Пусть – якобиева матрица, тогда
|
Док–во |
оставляется читателю в качестве упражнения. |
Лемма 4. |
Собственные значения якобиевой матрицы попарно различные (простые). |
Док–во. |
Т.к. размерность ядра симметричной матрицы совпадает с кратностью , а из леммы 3 следует, что у вырожденной якобиевой матрицы минор , то и простое собственное значение матрицы . |
Теорема. |
Пусть – якобиева матрица, тогда , если приписать знак . |
Док–во. |
1. Если , то это лемма 1. |
2. Пусть . Пусть .
Определим и рассмотрим якобиевы матрицы .
Т.к. , то
а) (т.к. определитель матрицы равен произведению ее собственных значений),
б) ,
в) ,
(т.к. из леммы 4 следует, что простое и отрицательных собственных значений у матрицы на одно больше, чем у матрицы ),
г) .
Из леммы 1, а) и г) следует, что
,
,
Подсчитаем эти числа:
Из б) следует, что если и , то перемена знака происходит (или нет) одновременно в этих последовательностях.
Случай .
Из леммы 3 имеем , отсюда и из б) следует и на участках
по одной перемене знака.
Случай . Отсюда, из в) и г) следует, что
, ,
.
Следовательно, (если приписать знак ) последовательности миноров матриц и имеют одинаковые знаки. Теорема доказана.
О вычислении чпз
Для вычисления якобиевой матрицы достаточно знать знак каждого . Если
(обычно выбирают ), то и . Нормировку можно применять неоднократно, что позволит избежать быстрого роста (переполнения) чисел .
О вычислении собственного вектора
Лемма 5. |
Последняя компонента собственного вектора якобиевой матрицы не равна нулю. |
Док–во. |
Пусть . Предположим, что . Тогда
– противоречие, значит . |
Собственный вектор якобиевой матрицы мы можем, положив , вычислить по формулам
или решив систему
с неособенной матрицей.
Лекция 13. Метод вращений (Якоби)
Для самосопряженной матрицы существует унитарная матрица (столбцы которой – собственные векторы матрицы ):
, где .
Идея:
построить : , тогда на диагональные элементы будут приближать собственные значения, а столбцы – собственные векторы матрицы .
Определим .
Лемма 1. |
Для любых квадратной матрицы и унитарной матрицы имеем . |
Док–во. |
Если , то
|
В качестве матриц будем выбирать элементарные матрицы вращения.
Лемма 2. |
Пусть , , где – элементарная матрица вращения, тогда . |
Док–во. |
Заметим, что изменились только строки и столбцы с номерами , . Тогда, используя лемму 1, получим
откуда следует утверждение леммы. |