Метод вращений решения системы уравнений Элементарная матрица вращения

Доказать, что – унитарная матрица, т.е. .

Доказать, что .

Доказать, что при умножении на матрицу матрицы слева ( ) изменяются только и строки матрицы .

–Ый шаг метода вращений

Предположим, что после шага система с помощью умножения слева на ортогональную матрицу приведена к виду , где

.

Тогда –ый шаг состоит из умножения системы слева на элементарные матрицы вращений :

, где

, если ,

, если .

В результате получим , где .

Выполнив шаг, получим систему с верхней треугольной матрицей: (заметим, что, если , то и ).

Если определить унитарную матрицу , то справедлива

Теорема. .

Доказать, что .

Лекция 4.

Метод отражений решения системы уравнений

Матрица отражения

Доказать, что , .

–ый шаг метода отражений

Предположим, что после шага система с помощью умножения слева на ортогональную матрицу приведена к виду , где

.

Тогда –ый шаг состоит из умножения системы слева на ортогональную матрицу вращения :

,

где		если или ,
		если (здесь , – первый орт),
		если (здесь ).

Выполнив шаг, получим систему с верхней треугольной матрицей: (заметим, что, если , то и ).

Решение системы с вырожденной матрицей –разложение с перестановками столбцов матрицы

1– ый шаг.	Определим номер столбца матрицы из условия и матрицу перестановок . Для матрицы определим матрицу отражения : . Доказать:
–ый шаг.	После шага имеем . Определяем номер столбца из условия и для определяем матрицу отражения : . Доказать: .
Ответ:	Если , то после шагов имеем , где и – ортогональные матрицы.

Совместность системы с вырожденной матрицей

Система называется совместной, если она имеет решение. Следовательно, система совместна .

– общее решение системы, где – любое ее решение.

Теорема.

Если система совместна ( ), то совместна система и множества решений этих систем совпадают.

Система несовместна, если .

В этом случае ее обобщенным решением (относительно векторной нормы ) называют вектор .

Доказать: общее решение совместной системы совпадает с множеством ее обобщенных решений.

Доказать: множество обобщенных решений совпадает с общим решением системы .

Применение –разложения с перестановками столбцов для решения совместной системы

Выполним эквивалентное преобразование совместной системы :

.

Из–за ошибок округления эта система будет иметь вид:

,

где матрица и вектор должны иметь малые по модулю элементы. Заменяем их на нулевые матрицу и вектор (диагональные элементы матрицы по модулю мажорируют все левее и ниже лежащие элементы, как только очередной диагональный элемент стал “намного” меньше предыдущего, то и остальные элементы почти нулевые):

,

очевидно, что общее решение этой системы определяется формулой

,

а решение исходной системы .