Сущность и содержание математического программирования

Методы математического программирования относятся к численным методам поиска оптимальных решений, которые позволяют найти решение только для конкретных значений параметров. Содержание математического программирования составляют теория и методы решения задач о нахождении экстремумов функций на множествах, определяемых линейными и нелинейными ограничениями (равенствами и неравенствами). В упрощенной постановке задача оптимизации может быть сформулирована следующим образом.

Имеется набор параметров х₁, ..., х_п и функция F(x). Требуется определить такую совокупность параметров из множества X, для которой функция F(x) принимает наибольшее или наименьшее значение. Функция F(x) получила название целевой функции.

Методы решения задач такого типа в литературе именуются методами математического программирования.

Термин "программирование" не связан с составлением программ для ЭВМ, но обусловлен тем, что при решении такого рода задач математическими средствами составляется программа действий.

Независимо от конкретной предметной ориентации задачи, решаемые методами математического программирования, с формальной точки зрения сводятся к одной постановке.

При выполнении условий

необходимо найти совокупность параметров (план)

,

при котором функция (целевая функция)

принимает наибольшее или наименьшее значение.

Условия называются ограничениями задачи. Дополнительно к условиям может быть задано требование целостности всех или нескольких переменных х_j.

Вектор X̅* называется оптимальным планом задачи или оптимальным решением, так как его нахождение связано с отыскиванием конкретных значений параметров управления.

При решении задач математического программирования широко используются свойства линейных уравнений и неравенств, различные понятия, связанные с максимумами и минимумами функций, гладкими функциями, выпуклыми множествами и др.

Общая характеристика методов математического программирования

Методы математического программирования относятся к численным методам поиска оптимальных решений, которые позволяют найти решение только для конкретных значений параметров. Такими методами являются методы линейного, нелинейного дискретного, стохастического и динамического программирования.

Если функции эффективности и ограничения линейны, а операция одноэтапная, то можно применить один из методов линейного программирования. Данные методы используют одну и ту же идею: задается некоторое неоптимальное решение (начальный план), а затем оптимальное решение находится путем изменения начального плана в направлении приближения к оптимальному. Линейное программирование является в настоящее время наиболее разработанной ветвью математического программирования.

При нелинейном характере хотя бы одного компонента математической модели (целевой функции или ограничений) применяют методы нелинейного программирования. Общих методов этого типа пока не существует, за исключением случая квадратичной зависимости между критерием и параметрами при линейных ограничениях.

Некоторые математические модели могут содержать условие дискретности значений параметров (например, по своей физической сущности параметры должны быть только целыми числами). Решение таких задач осуществляется с применением методов дискретного (целочисленного) программирования.

Отыскание решений в операциях, которые носят многоэтапный характер, проводится с применением метода динамического программирования. Его сущность состоит в том, что оптимальное решение отыскивается не за все этапы одновременно, а последовательно, от этапа к этапу. Идея оптимизации управления на каждом отдельном этапе использовалась давно, но без учета будущего. При динамическом программировании оптимизация каждого этапа проводится с учетом всех последующих этапов.

Если операция носит случайный характер и приходится иметь дело со случайными величинами и функциями, то для ее исследования используются методы стохастического программирования.