I участок (0  X  a)

.

,

M_z=0 при x = 0,

M_z=-Fa при x = a.

II участок (0  X  b)

.

,

M_z=-Fa при x = 0,

M_z=-F(a+b)+R_Ab при x = b.

III участок (0  X  c)

,

Q_y=-F+R_A при x = 0,

Q_y=-F+R_A- qc при x = c.

.

Уравнение для внутреннего изгибающего момента на третьем участке имеет вид квадратичной зависимости, поэтому для построения эпюры необходимо взять несколько точек. Чем больше будет взято точек, тем более точный вид будет иметь эпюра. Обязательно берутся точки с координатами соответствующими началу и концу участка, а также точка с координатой x_э, соответствующая пересечению эпюрой Q нулевой линии, если такая имеется.

при x = 0,

при ,

при ,

при ,

при .

IV участок (0  X  d)

,

Q_y= -F+R_A - qc при x = 0,

Q_y= -F+R_A- qc - qd при x = d.

.

На данном участке эпюра Q_y пересекает нулевую линию, поэтому необходимо определить координату точки x_э. Для этого приравняем нулю выражение для Q_y:

,

откуда определим x_э:

.

Подставляя различные значения x определим М_z на последнем участке:

при ,

при ,

при ,

при ,

при ,

при .

Построение эпюр. Эпюры строят для наглядного изображения распределения вдоль оси балки поперечных сил и изгибающих моментов. Они дают возможность определить опасное сечение балки и установить значение поперечной силы и изгибающего момента в этом сечении.

Правила построения эпюр:

1. Эпюру моментов строят на сжатом волокне, т.е. положительные моменты и положительные поперечные силы откладывают вверх от оси, а отрицательные вниз.

2. Эпюра внутреннего изгибающего момента на участке действия равномерно распределённой нагрузки будет иметь экстремум (максимум или минимум) в сечении, где эпюра внутренней поперечной силы пересекает нулевую линию, т.е. выполняется условие .

3. В сечении, где приложена внешняя сосредоточенная сила, значение поперечной силы меняется скачкообразно, причем скачек равен модулю этой силы, а на эпюре внутреннего изгибающего момента произойдёт резкое изменение угла наклона (излом) смежных участков эпюры.

4. В сечении, где приложен внешний сосредоточенный момент пары сил, значение внутреннего изгибающего момента меняется скачкообразно, причем скачок равен модулю внешнего момента. На эпюре внутренней поперечной силы это не отражается.

5. На участке, где нет распределённой нагрузки, эпюра внутренних изгибающих моментов представляет собой наклонную прямую, а эпюра внутренних поперечных сил прямую, параллельную нейтральной оси.

6. На участке, где приложена равномерно распределенная нагрузка, эпюра внутренних изгибающих моментов представляет собой параболу, а эпюра внутренних поперечных сил наклонную прямую.

7. На конце балки изгибающий момент равен нулю, если там не приложен внешний сосредоточенный момент пары сил.

Нормальные напряжения при изгибе

Рассмотрим фрагмент балки, испытывающий чистый изгиб. Экспериментальные исследования изгиба балок дают основания для следующих допущений:

1. При чистом изгибе поперечные сечения, бывшие плоскими до деформирования, остаются плоскими и во время деформации.

2. Продольные волокна не давят друг на друга, то есть под действием нормальных напряжений испытывают простое линейное растяжение или сжатие.

3. Деформации волокон не зависят от их положения по ширине сечения, следовательно, нормальные сечения, изменяясь по высоте сечения, остаются по ширине одинаковыми.

Воспользовавшись ММС, рассмотрим равновесие левой части балки. В каждой точке поперечного сечения действуют нормальные напряжения .

Условие статического равновесия:

x=0, или ,	(5.1)
My=0, или ,	(5.2)
Mz=0, или .	(5.3)

Задача является статически неопределимой, т.к. нормальное напряжение  изменяется в зависимости от растяжения площадки dS до нейтральной оси.

Р ассмотрим деформацию выделенного элемента. При схеме нагружения, показанной на рис. 32, верхние слои материала будут испытывать напряжения сжатия, а нижние напряжения растяжения. Следовательно, в средней части находится слой, волокна которого не изменяют своей длины. Плоскость, содержащая волокна, не меняющие своей длины в процессе деформирования, называется нейтральной плоскостью.

Плоскостями, перпендикулярными оси x, выделим элемент балки длиной dx и рассмотрим отрезок ОО₁, расположенный в нейтральной плоскости, и отрезок АА₁ на расстоянии z от нейтральной плоскости. До деформации ОО₁=АА₁=dx. В процессе деформации сечения повернутся одно относительно другого на некоторый угол d. Обозначим радиус кривизны нейтрального слоя , тогда радиус кривизны отрезка АА₁ будет  + z. После деформации длина отрезка ОО₁ не изменится:

,

а отрезок АА₁ удлинится:

.