Устойчивость элементов конструкций

Под устойчивостью понимается свойство системы сохранять первоначальную форму упругого равновесия при действии на неё заданных нагрузок.

наблюдение за поведением центрально сжатого стержня показывает (рис 51.), что поведение стержня будет различным в зависимости от величины приложенной к нему центральной сжимающей силы. До некоторого значения сжимающей силы F первоначальная прямолинейная форма стержня будет устойчивой, то есть если к сжатому стержню приложить бесконечно малую боковую силу Q, стержень незначительно изогнётся - отклонится от первоначального положения равновесия, но после снятия боковой силы он распрямится - возвратится в исходное положение равновесия. Следовательно, первоначальная форма равновесия устойчива.

Если же центральную сжимающую силу F увеличивать, то при некотором её значении прямолинейная форма равновесия перестает быть устойчивой. В этом случае достаточно бесконечно малого возмущения для того, чтобы стержень внезапно изогнулся и больше не возвращался в первоначальное положение после снятия боковой силы.

Явление внезапного изгиба центрально сжатого стержня, при котором происходит переход от устойчивой прямолинейной формы равновесия к новой устойчивой криволинейной форме равновесия, носит название потери устойчивости или продольного изгиба. Опасность потери устойчивости, связана с тем, что при малом увеличении нагрузки происходит сильное нарастание прогибов.

Наибольшее значение центрально приложенной сжимающей силы F, до которого сохраняется устойчивой прямолинейная форма равновесия, называется критической силой.

Продольный изгиб стержня - не единственный случай потери устойчивости первоначальной формы равновесия: круговое кольцо, сжатое радиальной равномерно распределённой нагрузкой, потеряв устойчивость, принимает некоторую эллиптическую форму; тонкостенная оболочка, нагруженная внешним давлением или осевой сжимающей силой, может потерять устойчивость - прохлопнуть.

Для того чтобы конструкция не потеряла устойчивости, действующая на неё сила должна быть в несколько раз меньше критической. Число, показывающее во сколько раз действующая сила меньше критической, называется коэффициентом устойчивости:

.

(8.5)

Конструкция считается устойчивой, если её коэффициент запаса устойчивости не меньше допускаемого. Условие устойчивости имеет вид:

.

(8.6)

Задачу определения критической силы впервые решил академик Петербургской академии наук Л. Эйлер в 1744 г.

Р ассмотрим прямой стержень постоянного сечения (рис. 53), шарнирно-закрепленный по концам, на который действует центрально приложенная сжимающая сила F=F_кр. Опора В допускает возможность продольного перемещения. Деформация изгиба весьма мала, что дает возможность воспользоваться для решения приближенным дифференциальным уравнением изогнутой оси стержня:

.

Изгибающий момент равен . Тогда дифференциальное уравнение примет вид:

.

(8.7)

Разделив обе части на ЕJ и обозначив дробь , приведём уравнение к виду:

.

(8.8)

Общее решение этого уравнения имеет вид:

.

(8.9)

Из граничного условия (при x=0 прогиб y=0) следует, что изогнутая ось стержня является синусоидой

.

(8.10)

Применяя второе граничное условие (при x=l прогиб y=0) получим

.

(8.11)

Решение этого уравнения возможно, только если , то есть величина kl может принимать следующий бесконечный ряд значений:

kl=0, , 2, 3, …n,

где n - любое целое число.

Но при n=0 решение противоречит исходным данным, поэтому наименьшим корнем принимается значение n=1. Тогда получим

,

(8.12)

где J=J_min - минимальный момент инерции поперечного сечения стержня.

Данная формула справедлива только для стержня с шарнирно-закреплёнными концами. В общем случае формула Эйлера имеет вид:

,

(8.13)

где  - коэффициент приведения длины, учитывающий способ закрепления концов стержня (рис. 53).

Произведение l называют приведённой длиной стержня.

Н апряжения, возникающие в поперечном сечении стержня при действии на него сжимающей силы, равной критической определяются по формуле:

.

Обозначим - минимальный радиус инерции. Тогда

.

Обозначим

,

(8.14)

где  - гибкость стержня.

Как видно из формулы, гибкость стержня зависит только от размеров стержня и характера закрепления его концов. Тогда выражение для критического напряжения можно записать в виде:

.

(8.15)

Предельную гибкость определяют исходя из условия, что критические напряжения не должны превышать предела пропорциональности материала стержня:

,

Тогда предельная гибкость, при которой критические напряжения равны пределу пропорциональности, определяется по формуле:

.

(8.16)

Из формулы следует, что предельная гибкость зависит только от физико-механических характеристик материала - предела пропорциональности и модуля упругости первого рода.

Однако теоретическое решение, полученное Эйлером, оказалось применимым на практике только для тонких и длинных стержней с большой гибкостью. Пользоваться величинами критических напряжений, вычисленных по формуле Эйлера, можно, если они не превышают предела пропорциональности для материала стержня. Тогда ограничение применения формулы Эйлера связано с соблюдением условия:

или .

(8.17)

Если из этого неравенства выразить гибкость, то условие применимости формулы Эйлера получит вид:

.

(8.18)

Опыты показали, что короткие стержни теряют несущую способность не из-за нарушения устойчивости их прямолинейной формы, а вследствие нарушения прочности материала при сжатии по достижении опасных для него напряжений сжатия _сж.о. Поэтому можно считать, что для стержней малой гибкости критические напряжения практически близки: для пластических материалов - к пределу текучести (_кр _т), а для хрупких - к пределу прочности (_кр _в).

Для стержней средней гибкости установлено, что потеря их несущей способности определяется нарушением устойчивости прямолинейной формы при критических напряжениях _кр, превышающих предел пропорциональности _пр, но меньших _т или _в, в зависимости от материала стержня. В этом случае закон изменения критических напряжений от гибкости близок к прямолинейному. напряжения можно вычислить по эмпирической формуле Тетмайера-Ясинского:

,

(8.19)

где a и b - коэффициенты, зависящие от материала и подбираемые так, чтобы при гибкости =_пред, _кр=_пр, а при малых гибкостях мало отличалось от _т или _в.

При некотором значении гибкости, которое можно обозначить через ₀, величина критических напряжений становится равной предельному напряжению сжатия (пределу текучести _т или пределу прочности _в). Это значение гибкости будет пределом применения формулы Тетмайера-Ясинского.

Представим на рис. 55 графически зависимость критического напряжения от гибкости.

Для стержней большой гибкости   _пред расчёт ведётся по формуле Эйлера, зависимость _кр от  гиперболическая:

,

поэтому участок I на диаграмме называется гиперболой Эйлера.

Стержни средней гибкости (₀   _пред) рассчитываются по эмпирической формуле Тетмайера-Ясинского. Участок II называется прямой Ясинского.

Стержни малой гибкости (  ₀) на устойчивость не рассчитывают, а проверяют только на прочность при сжатии.