- •Глава 4 одномерные изоэнтропические течения газа
- •Распространение малых возмущений. Скорость звука
- •Основные соотношения для одномерных изоэнтропических потоков газа
- •Величины числа Маха и коэффициента скорости при характерных значениях скорости V
- •Газодинамические функции
- •Связь между скоростью течения газа и формой его струи
- •Формы канала для разных случаев течения газа
- •Сверхзвуковое сопло (сопло Лаваля)
- •Режимы работы сверхзвукового сопла
- •Контрольные вопросы и задания
Основные соотношения для одномерных изоэнтропических потоков газа
Рассмотрим изоэнтропические течения газа вдоль трубки тока. Выделим два сечения 0–0 и 1–1 (рис. 4.3). Параметры газового потока в этих сечениях будем записывать, соответственно, с индексом 0 и без индекса.
Воспользуемся уравнением Бернулли для сжимаемого газа в виде . Считая, что в сечении 0–0 , получаем . Используя выражение для энтальпии преобразуем уравнение Бернулли к виду
. (4.6)
Отсюда следует, что при с изменением скорости течения газа изменяется и его теплосодержание (определяется величиной температуры). Это одно из самых характерных отличий течения газа от течения несжимаемой жидкости.
В несжимаемой жидкости (при отсутствии трения) температура изменяется только при подводе и отводе тепла. В газе же температура зависит от скорости его движения: увеличение скорости приводит к понижению температуры и наоборот. Наибольшая температура достигается, когда скорость течения газа уменьшается до .
С другой стороны, из уравнения Бернулли видно, что скорость газа, имеющего в состоянии покоя энтальпию , не может превосходить некоторого максимального значения , при приближении к которому значения параметров . С корость потока достигается при расширении газа до абсолютного вакуума ( ), когда все теплосодержание переходит в кинетическую энергию , и называется теоретической максимальной скоростью течения газа:
.
И спользуя уравнение состояния для заторможенного потока и формулу для скорости звука (4.3), получим:
. (4.7)
Параметры газа, соответствующие состоянию покоя ( ), называются параметрами изоэнтропически заторможенного потока ( и др.). Что касается давления , то его еще называют полным давлением. Следует заметить, что на величину влияет отношение , а не само давление . Изменение полного давления напрямую сказывается лишь на расходе газа при его истечении.
Выясним, насколько повышается температура газа при его торможении до . Из уравнения (4.6) получаем, что . Для воздуха (К).
При обтекании любого тела температура поверхности в критических точках, где , стремится к . При больших числах Маха температура значительно превышает температуру набегающего потока (для условий реального полета – температуру атмосферы на данной высоте).
Выведем формулы для расчета . Рассмотрим отношение энтальпий . Для изоэнтропического течения , или . Из уравнения состояния идеального газа можно записать . Тогда
и . (4.8)
Используя связь с , после подстановки получаем формулы для расчета при изоэнтропическом течении газа:
; . (4.9)
Так как скорость звука в газе связана с его температурой соотношением (4.3), то:
. (4.10)
При изоэнтропическом течении газа рост его кинетической энергии может происходить только при понижении теплосодержания (потенциальной энергии) газа. Как видно из формул (4.9), при увеличении скорости течения его давление и температура уменьшаются, но так как при этом падает интенсивнее, чем , то плотность газа в этом случае уменьшается (рис. 4.4). То есть:
П ри изоэнтропическом (или адиабатическом) течении газа с ростом скорости происходит расширение газа.
Этим свойством обладают только газы. При изменении скорости движения капельных жидкостей изменяется только давление.
В ыражение (4.10) можно переписать в виде
. (4.11)
Кривая, построенная по формуле (4.11), представляет собой эллипс с полуосями, равными и – изоэнтропический эллипс (рис. 4.5). Анализ зависимости (4.11) показывает, что с увеличением скорости движения газа скорость звука уменьшается и при некоторой скорости становится равной последней: . Эта местная скорость потока, равная местной скорости звука, называется критической.
С ечение струи газа, в котором это условие достигается, называют критическим. Параметры состояния газа в этом сечении также называются критическими: . Рассчитаем их величины. Поскольку , то из формулы (4.11) с учетом выражения (4.7) имеем следующее: отсюда:
(4.12)
или
. (4.13)
Так как , то
. (4.14)
Для воздуха и . Формула (4.13) показывает, что критическая скорость зависит только от температуры торможения и физических свойств данного сорта газа, которые отражают показатель адиабаты и газовая постоянная .
Для температуры газа, соответствующей критической скорости, . С учетом выражения (4.12) получим или
(4.15)
Так как для изоэнтропического процесса справедливы соотношения (4.8) в виде и , то
, (4.15а)
. (4.15б)
Для воздуха при k = 1,4 , .
При практических расчетах в аэродинамике удобнее пользоваться формулами для определения параметров не через максимальную скорость, а через число Маха . Преобразуем отношение квадратов скоростей с учетом выражений (4.7) и (4.10): . Отсюда получаем: .
Следовательно, формулы (4.9) для определения параметров состояния при изоэнтропическом течении газа через число Маха примут вид
, (4.16)
, . (4.16а)
В газовой динамике часто вместо числа М используют коэффициент скорости , определяемый из соотношения
.
При изменении скорости потока от до диапазон изменения числа Маха составляет , в то время как коэффициент скорости изменяется в конечных пределах (при k = 1,4 ). При скорость течения газа дозвуковая, при – звуковая и при – сверхзвуковая (табл. 4.1).
Таблица 4.1