Линеаризованное обтекание тупого угла сверхзвуковым потоком

Рассмотрим обтекание тупых углов АОВ (рис. 5.2), мало отличающихся от , сверхзвуковым потоком газа в линейной постановке. Угол поворота потока будем считать положительным ( ), если угол АОВ больше (рис. 5.2, а), и отрицательным ( ), если угол АОВ меньше (рис. 5.2, б).

Проводя линию возмущения из вершины угла О, получим области невозмущенного (I) и возмущенного (II) течений.

В области I скорость всюду постоянна и равна , в области II скорость равна также для всей области. Вектор повернут на угол по отношению к . Считая течение газа в обеих областях потенциальным, введем потенциал скорости возмущения .

Граничными условиями задачи являются следующие:

1) в области I, где , и ;

2) в области II ( ) потенциал возмущения .

Линии возмущений

а б

Рис. 5.2. Схемы линеаризованного обтекания тупого угла:

а – угол больше 180^о; б – угол меньше 180^о

Рассмотрев треугольники скоростей с учетом малости угла поворота потока ( ) и обращая внимание на направления (знаки) и , имеем следующее:

или .

Пренебрегая произведением как величиной второго порядка малости, получим выражение для расчета составляющей скорости :

.

Потенциал скорости возмущения удовлетворяет уравнению (5.8), общим решением которого является функция

.

В обоих вариантах рассматриваемой задачи частное решение не имеет физического смысла, так как линия возмущений равна нулю или наклонена навстречу набегающему потоку, или оказывается вне потока (уходит внутрь поверхности). Таким образом, общее решение имеет вид

.

Запишем составляющие скорости и через потенциал : , . Отсюда получаем . С учетом того, что и , выражение для примет вид . Таким образом, получаем систему уравнений для определения составляющих скорости и :

, . (5.9)

Как видно из выражений (5.9), характер изменения скорости течения газа при обтекании угла АОВ зависит от знака угла поворота потока:

• при : , – течение разрежения (рис. 5.2, а);

• при : , – течение уплотнения (рис. 5.2, б).

Найдем изменение давления при обтекании угла АОВ. Воспользуемся линеаризованным уравнением Бернулли (5.7) в виде . Отсюда, с учетом полученного решения (5.9),

, (5.10)

где – скоростной напор потока до начала поворота. Запишем выражение для коэффициента давления:

. (5.10а)

Выражение (5.10) показывает, что при обтекании угла, большего ( ), давление уменьшается, а при обтекании угла, меньшего ( ), давление увеличивается, что находится в полном соответствии с физической картиной течения.

Метод характеристик Метод характеристик позволяет рассчитать сверхзвуковое течение газа с помощью системы характеристик в плоскости потока и годографа скорости. Характеристики в плоскости потока

Пусть газ движется в плоскости чертежа слева направо со сверхзвуковой скоростью .

В каждой точке плоскости XОY можно провести два направления линий возмущения (линий Маха). При переходе от одной точки к другой направление линий возмущения может изменяться, так как значения и в разных точках плоскости XОY в общем случае различны. Имея это в виду, найдем в плоскости такую кривую y = y (x), в каждой точке которой направление касательной совпадало бы с направлением одной из линий возмущения для данной точки (рис. 5.3). Кривую, обладающую таким свойством, называют характеристикой.

Из рис. 5.3 следует, что

. (5.11)

Д

Y

ля линии возмущений , из треугольника скоростей , а есть угол наклона касательной к кривой y = y(x), для которого .

Т

X

O

огда равенство (5.11) перепишем в виде . Возведя обе части равенства в квадрат, после преобразований получим квадратное уравнение относительно

,

корни которого равны

. (5.12)

Выражение (5.12) представляет собой дифференциальное уравнение характеристик в плоскости потока. Анализ уравнения (5.12) позволяет установить следующее:

1. Для сверхзвукового потока имеются два вещественных различных корня. Через каждую точку плоскости можно провести два элемента характеристик, а вся плоскость может быть покрыта двумя семействами характеристик. Уравнение (5.12) является уравнением гиперболического типа.

Для определенности интегральные кривые y = y(x), соответствующие уравнению (5.12) со знаком «+», называют характеристиками первого семейства, а соответствующие уравнению со знаком «–» – характеристиками второго семейства.

2. Для звукового потока имеется один вещественный корень и одно семейство характеристик; уравнение (5.12) является уравнением параболического типа.

3. Если поток газа дозвуковой ( ), то вещественных корней и характеристик нет, уравнение (5.12) является уравнением эллиптического типа.

Характеристики в плоскости годографа скорости

Определим изменение скорости вдоль характеристик в физической плоскости и плоскости годографа (рис. 5.4). Пусть в физической плоскости для некоторой точки А (рис. 5.4, а) известны значение и направление скорости потока .

О

О

Рис. 5.4. Характеристики:

а – в физической плоскости; б – в плоскости годографа

Тогда в плоскости годографа скорости ( ) точке А будет соответствовать точка (рис. 5.4, б). При перемещении вдоль характеристики первого семейства в плоскости XОY концы векторов скорости в плоскости опишут кривую , а для характеристики второго семейства – кривую Характеристики в плоскости располагаются в области, ограниченной двумя окружностями, описанными из начала координат, радиусами и и определяющими границы диапазона сверхзвуковых скоростей.

Чтобы найти уравнение характеристик в плоскости годографа скорости воспользуемся уравнением (5.4), которому должны удовлетворять составляющие скорости сверхзвукового потока газа.

Рассматривая изменение скорости вдоль характеристик y = y(x) запишем очевидные соотношения:

(5.13)

где – тангенс угла наклона касательной к характеристике в плоскости XY. Тогда из соотношений (5.13) имеем следующее:

, . (5.14)

Из условия потенциальности течения следует, что . После подстановки уравнения (5.14) в выражение (5.4) с учетом потенциальности получаем

×

× . (5.15)

Используя свойство корней квадратного уравнения (теорему Виета) для характеристик в плоскости потока

и ,

можно убедиться, что множитель перед равен

Вдоль характеристик первого семейства в физической плоскости, когда , этот множитель равен , а вдоль характеристик второго семейства, когда , он равен . В общем случае для характеристик обоих семейств этот множитель равен

.

Таким образом, в уравнении (5.15) выражение в квадратных скобках перепишется в виде . Произведя дальнейшие преобразования уравнения (5.15) с использованием выражений для корней квадратного уравнения, найдем отношение приращений скоростей вдоль характеристик:

.

Анализ полученного выражения показывает, что для характеристик первого семейства, где , а для второго семейства ( ) – . Таким образом, получаем зависимости для расчета изменения скорости течения газа вдоль характеристик в плоскости потока, которые имеют вид

(5.16)

Зависимости (5.16) показывают, что характеристики в физической плоскости и в плоскости годографа скорости перпендикулярны друг другу. Характеристики первого семейства в плоскости XY перпендикулярны характеристикам второго семейства в плоскости и наоборот. Используя дифференциальное уравнение (5.12) для характеристик в плоскости потока, можно записать следующее:

. (5.17)

Вдоль характеристик в физической плоскости составляющие вектора скорости потока удовлетворяют обыкновенному дифференциальному уравнению в переменных . Поэтому для любых безвихревых течений газа характеристики в плоскости годографа скорости имеют всегда один и тот же вид и могут быть заранее рассчитаны (в физической плоскости XY характеристики для различных задач различны).

Примечание: правая часть уравнения (5.17) не зависит от переменных x, y.

Получим уравнение характеристик в плоскости годографа в интегральном виде. Используя рис. 5.3, можно получить

, ,

или

. (5.18)

Произведем замену и через и . Так как и , то , , и уравнение (5.18) после преобразований запишем следующим образом:

.