Д

С. . Схема к задаче Коши

робь в правой части перед равна , поэтому . Представив скорость звука как , имеем следующее:

.

После интегрирования, учитывая, что получим уравнение характеристик в плоскости годографа скорости в конечном виде:

. (5.19)

В этом уравнении число Маха может изменяться в пределах , что соответствует изменению скорости от до .

Кривые, описываемые этим уравнением, называются эпициклоидами. Через каждую точку плоскости проходит одна эпициклоида первого семейства и одна второго семейства. Задавая различные значения постоянной C, можно один раз вычертить сетку характеристик в плоскости годографа скорости и затем использовать ее при решении задач различного плана.

Таким образом, с помощью метода характеристик можно решать любые краевые задачи для сверхзвуковых потенциальных течений газа, если только найдены характеристики в плоскости XY течения газа и установлено их соответствие характеристикам в плоскости годографа . Таким образом, существо решения газодинамических задач методом характеристик состоит в поиске характеристик в плоскости течения газа.

Решение некоторых задач методом характеристик

Решим три задачи методом характеристик.

Задача 1 (Задача Коши)

Исходные данные: в физической плоскости XY на некоторой кривой АВ, которая не является характеристикой, задана скорость потока.

Т ребуется определить: скорости потока в области, ограниченной этой кривой и двумя характеристиками АС и ВС разных семейств (рис. 5.5), проведенных из точек А и В (эти характеристики строятся при решении задачи).

Решение: рассмотрим на кривой АВ ряд точек и проведем из каждой точки характеристики (линии возмущения) обоих семейств до их пересечения. – точки пересечения характеристик разных семейств (узловые точки). Ввиду малости участков разбиения характеристики можно считать прямолинейными. Уравнение отрезков этих прямых можно записать как уравнения прямых, проходящих через две точки:

и (5.20)

Координаты точек определим из выражений (5.20). Так, точка есть точка пересечения характеристики первого семейства, проведенной из точки , и характеристики второго семейства, проведенной из точки :

и . (5.21)

Скорость потока в узловых точках определим из уравнений соответствующих характеристик в плоскости годографа скорости, записанных через конечные разности. Так для точки они имеют вид

и . (5.22)

Система уравнений (5.21) позволяет определить координаты точ-ки . Решая систему уравнений (5.22). находим и в точке , а по ним и остальные параметры течения. Точно таким же образом определяются координаты всех других точек пересечения характеристик и находятся параметры течения в этих точках и т. д., пока не будут описаны подобным образом все точки рассматриваемой области течения. Крайние характеристики АС и ВС строятся в процессе решения задачи. Точность расчета зависит от количества выбранных точек на исходной кривой АВ (чем больше точек, тем выше точность).

Задача 2 (Задача Гурса)

Исходные данные: заданы скорости на двух характеристиках АВ и АС разных семейств, выходящих из точки А.

Т ребуется определить: поле скоростей в криволинейном четырехугольнике (рис. 5.6), ограниченном данными характеристиками и характеристиками ВD и СD, исходящими из точек В и С (определенных в процессе решения задачи).

Решение: Возьмем на АВ и АС ряд точек и . Тогда угловую точку найдем как точку пересечения линий возмущения разного семейства, проведенных из точек (второго семейства) и (первого семейства):

, .

Составляющие скорости в этой точке определим по уравнениям

и .

Затем определим координаты и составляющие скорости для точки и т. д. для всей четырехугольной области АВСD. Определив величины составляющих скорости, рассчитаем обычным порядком остальные параметры течения.

Задача 3

Исходные данные: заданы гидродинамические параметры на характеристике одного из семейств АВ и дана твердая стенка АС.

Требуется: определить параметры в треугольной области АВС (рис. 5.7), ограниченной твердой стенкой, заданной характеристикой АВ и характеристикой ВС, построенной в результате решения задачи.

Р ешение: возьмем на характеристике АВ ряд точек . Из точки проведем линию возмущения второго семейства до пересечения ее с твердой стенкой в точке . Координаты этой точки определим из совместного решения уравнений линии возмущения и заданной поверхности стенки y = y (x).

В точке направление скорости известно исходя из следующих соображений. При безотрывном обтекании стенки вектор скорости направлен вдоль касательной к стенке в точке (условие непротекания). То есть , и для нахождения составляющих скорости используем уравнения

и .

Затем, зная и в точке и , находим координату точки и составляющие скорости в ней, решая задачу Гурса. Координаты точки и значение скорости для нее определяем так же, как и для точки , и далее определяем параметры течения во всей искомой области АВС.