Понятие критического числа Маха

При симметричном ( ) обтекании профиля нулевой толщины ( ) местная скорость на его поверхности всюду равна скорости невозмущенного набегающего потока ( ).

При или местная скорость потока на некоторой части поверхности больше . Причем, для некоторой скорости местная скорость тем больше, чем больше и .

С увеличением скорости набегающего потока местная скорость течения вблизи поверхности тела также будет увеличиваться. Поэтому при дозвуковых скоростях набегающего потока местная скорость где-либо на обтекаемой поверхности может стать равной скорости звука, а затем и превысить ее. На поверхности тела появляется зона местных сверхзвуковых скоростей (рис. 8.5).

Число невозмущенного дозвукового потока, при котором где-либо на поверхности тела местная скорость потока впервые становится равной скорости звука ( ), называется критическим ( ).

Величина зависит от относительной толщины профиля, значения ее координаты относительно носка профиля и угла атаки. Для крыла конечного размаха зависит также от угла стреловидности и удлинения крыла.

Таким образом, при дозвуковой скорости невозмущенного потока можно наблюдать два случая обтекания профиля:

1) при (докритический поток) местная скорость потока всюду меньше скорости звука ( ) – реализуется только дозвуковое обтекание, однако аэродинамические характеристики профиля или крыла необходимо определять с учетом сжимаемости среды;

2) при (закритический поток) – в некоторой точке профиля (крыла и др.) местная скорость больше скорости звука , и возникает зона местных сверхзвуковых скоростей. Так как позади профиля или крыла , то зона сверхзвукового течения замыкается скачком уплотнения (рис. 8.5).

П ротяженность зоны сверхзвукового течения зависит от числа . С увеличением ее продольные и поперечные размеры увеличиваются. При достаточной протяженности сверхзвуковой зоны возникает почти прямой скачок уплотнения СВ (см. рис. 8.5). Иногда перед ним располагается косой скачок DЕ, который на некотором удалении от поверхности тела сливается со скачком СВ и образуется так называемый -образный скачок уплотнения (рис. 8.6).

С одной стороны, косой скачок несколько уменьшает интенсивность прямого. А с другой стороны, он приводит к отклонению линий тока от поверхности, что может привести к отрыву потока от поверхности тела. Зоны местных сверхзвуковых скоростей могут образовываться на обеих поверхностях профиля и крыла.

Возникновение скачка уплотнения приводит к существенному изменению распределения давления в кормовой части профиля и появлению необратимых дополнительных потерь механической энергии. То есть в диапазоне чисел Маха появляется дополнительное сопротивление, называемое волновым. В этом случае суммарный коэффициент сопротивления профиля становится равным

,

где – коэффициент профильного сопротивления (зависит от формы профиля, типа пограничного слоя); – коэффициент волнового сопротивления профиля.

Линеаризованная теория тонкого профиля в докритическом потоке

Рассмотрим обтекание тонкого профиля при малом угле атаки. Течение сжимаемого газа около такого профиля можно исследовать с помощью дифференциального уравнения (5.8), линеаризованного методом малых возмущений:

.

Это уравнение во всей области течения будет эллиптического типа. К этому же типу относится и уравнение Лапласа (для несжимаемой жидкости). Уравнение (5.8) отличается от уравнения Лапласа только множителем при первом члене, поэтому вполне правомерен вопрос о возможности сведения задачи об обтекании профиля потоком сжимаемой жидкости к задаче обтекания некоторого профиля другой формы потоком несжимаемой жидкости. Приведем уравнение (5.8) к виду уравнения Лапласа. Произведем замену переменных .

Тогда и , ,

,

т. е.

.

После подстановки исходное дифференциальное уравнение сводится к уравнению , которое и является уравнением Лапласа.

Уравнению Лапласа удовлетворяет потенциал скорости потока несжимаемой жидкости. Определив потенциал скорости потока несжимаемой жидкости, через замену переменных и получим скорость потока сжимаемой жидкости.

При переходе от переменных к изменяется форма профиля. Допустим, что в плоскости XОY расположен тонкий профиль с хордой , направленной вдоль оси Х. Профиль обтекает под малым углом атаки потоком сжимаемой среды со скоростью (рис. 8.7). В таком случае в плоскости будет какой-то другой профиль с той же хордой ( ), но обтекаемый потоком несжимаемой жидкости со скоростью при угле атаки .

Р

Y

X

ассмотрим изменение скоростей в системе координат в направлении координатных осей. Так как и , то и . То есть составляющая скорости по оси X не изменяется, а по оси Y увеличивается в отношении . Это означает увеличение углов наклона касательной к линии тока с осью X, величину которых можно оценить через отношение . Следовательно, в этом же отношении увеличивается и угол атаки , т. е. .

Это же говорит и о том, что исходный контур утолщается, а максимальная толщина профиля в несжимаемой среде становится равной

.

Таким образом, можно считать, что тонкому профилю в сжимаемой среде соответствует утолщенный профиль в несжимаемой жидкости, обтекаемый под большим углом атаки.

Увеличение угла атаки с одновременным утолщением профиля приводит к увеличению коэффициента подъемной силы профиля . Следовательно, при известном значении коэффициента подъемной силы профиля в несжимаемом газе , коэффициент подъемной силы профиля в сжимаемом газе для данного угла атаки при малых скоростях обтекания находится как

(8.1)

по аналогии, и коэффициент момента .

Коэффициент называют поправкой на сжимаемость Прандтля–Глауэрта, а рассмотренный метод учета влияния сжимаемости на аэродинамические характеристики профиля – методом Прандтля–Глауэрта.