1.1.9. Построение графиков с использованием доверительных интервалов
В практике научных исследований очень часто приходится строить графические зависимости одной из измеряемых величин от другой. Наличие погрешностей измерений обусловливает тот факт, что экспериментальные точки не точно ложатся на прямую или кривую, выражающую теоретическую зависимость между этими величинами.
Один из широко распространенных приближенных методов проведения экспериментальной зависимости заключается в том, что на графике указываются доверительные интервалы значений измеренных величин.
Прямую следует провести так, чтобы она прошла внутри всех доверительных интервалов. Во многих случаях оказывается, что провести прямую с соблюдением этого условия возможно единственным образом.
При нахождении
какой-либо величины
из графика абсолютная погрешность этой
величины
определяется так же, как погрешность
прибора, не имеющего класса точности:
равна половине цены деления соответствующей
шкалы графика.
1.1.10. Линеаризация функций и метод наименьших квадратов
В физических
исследованиях очень часто для сравнения
эксперимента с теорией пользуются
методом линеаризации теоретической
зависимости. Например, исследуется
зависимость силы тока вакуумного диода
от величины задерживающего напряжения
между катодом и анодом. Теоретическая
зависимость имеет следующий вид:
, (1.17)
где
– ток при
,
– постоянная Больцмана,
– абсолютная температура,
– заряд электрона.
Построенный по
экспериментальным данным участок
зависимости
может с равным успехом иллюстрировать
и квадратичную, и кубическую, и
экспоненциальную зависимости. Чтобы
выяснить, подтверждают ли экспериментальные
данные теорию, теоретическую зависимость
преобразуют так, чтобы между функцией
и аргументом
была линейная зависимость.
Прологарифмировав выражение (1.17), получим:
(1.18)
Это уравнение прямой вида:
(1.19)
где
,
,
– угловой коэффициент прямой,
.
Если экспериментальные
результаты улягутся на прямую (в пределах
погрешностей измерений) в координатах
,
можно утверждать, что зависимость между
и
носит именно экспоненциальный характер,
как это и следует из теории (см. рис.1)
Во многих случаях
знание уголовного коэффициента
и величины
позволяет определить и другие параметры
изучаемого явления.
Рис.1. Зависимость от величины задерживающего напряжения .
1.2. Описание приборов и метода измерений
1.2.1. Масштаб и нониус
Для воспроизведения и контроля длины в промышленности широко используются штриховые и концевые меры. Плоскопараллельные концевые меры представляют собой наборы параллелепипедов (прямоугольных) из твердого сплава длиной до 1000 мм. Они предназначены для передачи размера единицы длины от первичного эталона к концевым мерам меньшей точности, а также для поверки, градуировки и настройки измерительных приборов. Для контроля длины используют также различные калибры, щупы, шаблоны.
Штриховые меры – это в основном измерительные линейки (масштабные) и штангенинструменты. Погрешность измерения длины масштабными линейками зависит от погрешности нанесения делений (0,1 – 0,2 мм) и погрешности отсчитывания (0,2 – 0,3 мм). Под общим названием штангенинструмент объединяется большая группа измерительных средств, предназначенных для измерения и разметки линейных размеров (штангенциркуль, штангенглубиномер, штангенрейсмаса). Отличительной особенностью этих измерительных приборов является то, что в них используется линейка со шкалой (штанга), имеющая деления через 1 мм, а отсчитывание частей деления основной шкалы производится с помощью (дополнительной) шкалы – нониуса.
Применение нониуса основано на свойстве человеческого глаза лучше оценивать совпадение штрихов, нежели расстояние между ними. Нониус – это подвижная вспомогательная шкала, состоящая из определенного числа делений и перемещающаяся относительно шкалы штанги (рис.2).
Длину шкалы нониуса выбирают таким образом, чтобы она совпадала с длиной некоторой части шкалы штанги, включающей в себя целое число делений. Например:
, (2.1)
где:
– длина шкалы нониуса;
–
интервал деления шкалы нониуса;
– число делений нониуса; – цена деления шкалы штанги.
Из формулы (2.1) следует, что
(2.2)
– отсчет по нониусу
(нельзя называть ценой деления нониуса).
В общем случае расчет основных параметров
нониуса ведется по формулам:
(2.3)
где:
– модуль (коэффициент), определяющий
соотношение между ценой деления штанги
и интервалом деления нониуса. При
увеличении модуля
,
например, в два раза интервал деления
шкалы нониуса
также увеличивается почти вдвое. Тем
самым создаются лучшие условия для
считывания результата измерения. Модуль
принимают равным 1; 2 или 5, а отсчет по
нониусу – 0,1; 0,05 или 0,02 мм.
Рис.2. Нониус
Рис.3. Масштаб с нониусом
На точность оценки видимого взаимного смещения штрихов штанги и шкалы нониуса влияет разрешающая способность человеческого глаза. Наименьшее смещение штрихов составляет около 0,012 мм. Измерение длины какого-либо тела масштабной линейкой с нониусом производится следующим образом. Масштаб прикладывается своим нулевым делением к одному краю тела (рис.3). К другому краю тела прикладывается нулевое деление нониуса.
Отсчет длины производится так: целое число деление отсчитывается по масштабу, дробная часть отсчитывается по нониусу. Для этого находят то деление нониуса, которое наилучшим образом совпадает с каким-либо делением масштаба. Номер этого деления нониуса умножают на величину отсчета по нониусу. В примере на рис. 2 целое число делений на основной шкале составляет 8, и совпадающим делением нониуса является деление 3. Умножив 3 на отсчет по нониусу, равный 0,2 деления масштаба, получим длину тела, которая равна 8,6 т.е.
где: – длина тела, – число, равное целому числу делений масштаба, – номер деления нониуса, которое совпадает с любым каким-то делением масштаба.