Плотность состояний

Физические свойства многочастичной системы определяются ее энергетическим спектром и распределением частиц по уровням энергии. Из краевого условия Борна–Кармана следует, что чем больше объем пространства, занимаемый системой, тем меньше расстояние между соседними уровнями. При достаточно большом размере системы спектр квазинепрерывный. Его характеризует плотность состояний

, (3.3)

равная числу состояний в единичном интервале энергии, где

(3.3а)

– число состояний с энергией в интервале . Одним из квантовых чисел, определяющих состояние, является проекция спина. При отсутствии магнитного поля энергия частицы не зависит от спина, поэтому каждому значению энергии соответствует

состояний, вырожденных по проекции спина. Для электрона и . Исключением является фотонный газ, для которого , несмотря на спин . Теория относительности запрещает для фотона, движущегося со скоростью света, направление спина перпендикулярное к скорости, тогда остаются проекции по- и против скорости.

Условие квантования Бора–Зоммерфельда с квантовым числом равным единице дает

Бесспиновое состояние с одной степенью свободы занимает фазовый объем, равный постоянной Планка h. Состояние с f степенями свободы занимает объем , тогда в элементе фазового объема находится число состояний

. (3.4)

Из (3.3) получаем плотность состояний

, (3.5)

где – приращение объема фазового пространства при увеличении энергии системы на единицу. Величина

является объемом фазового пространства системы, ограниченным гиперповерхностью, соответствующей полной энергии ε. Для получении используется связь энергии системы с импульсами и координатами частиц. Если энергия не зависит от координат точек объема , где находится система, то , тогда

. (3.5а)

Квадратичная зависимость энергии от импульса для f-мерного движения

(3.6)

означает, что состояние с полной энергией  находится в импульсном пространстве на f-мерной сфере радиусом . Если U не зависит от координат, то все точки и направления в сосуде объемом равноправные, тогда