Примеры

9.1. Для идеального газа N двухатомных молекул, каждая из которых является линейным гармоническим осциллятором с частотой , найти колебательную статистическую сумму, внутреннюю энергию и теплоемкость при температуре T.

Уровни энергии линейного гармонического осциллятора

, ,

где Из (3.15) получаем

.

Суммируя геометрическую прогрессию, находим

,

, (П.9.1)

где эффективная температура колебаний T₀ и относительная температура:

, .

Например: , , . Учитывая

и (3.17б), находим внутреннюю энергию, связанную с одной молекулой:

. (П.9.2)

Сравнивая результат с энергией уровня n, получаем номер уровня с энергией, равной средней энергии осциллятора при температуре Т:

. (П.9.2а)

Уровни эквидистантные с шагом , поэтому есть среднее число квантов энергии .

Теплоемкость системы N частиц равна

.

При высоких температурах экспоненту (П.9.2) разлагаем в ряд и сохраняем первые слагаемые , тогда

.

Учитывая результат классического решения в примере 3.3, получаем, что при высоких температурах колебательная теплоемкость

не зависит от температуры и квантовая статистика переходит в классическую, что подтверждает условие (3.2) применимости классического описания.

При низких температурах , колебательная теплоемкость стремится к нулю по закону

.

Это противоречит теореме классической физики о равном распределении энергии по степеням свободы и подтверждает третье начало термодинамики, согласно которому теплоемкость обращается в нуль при .

4. N независимых частиц со спином и с магнитным моментом  находятся в магнитном поле В и занимают объем V при температуре T. Найти среднюю энергию, среднюю проекцию магнитного момента и критическую температуру спонтанной намагниченности.

Проекциям спина на направление магнитного поля, показанным на рис. 3.10, соответствуют энергии и . Используя (3.15), находим статистическую сумму частицы

, (П.9.11)

где . Из (3.14б) получаем вероятности состояний, среднюю энергию и среднюю проекцию магнитного момента частицы

, ,

, (П.9.12)

. (П.9.13)

Рис. 3.10. Энергии магнитных моментов

В слабом поле , и из (П.9.13) получаем магнитный момент системы N частиц

.

Следовательно, система со спином 1/2 проявляет парамагнитные свойства. Это установил Вольфганг Паули в 1926 г. Результаты , являются следствием . В классическом пределе при получаем , что следует из теоремы Бора – Ван-Левен.

Если при изменении поля сохранять заселенности уровней, т. е. среднюю проекцию магнитного момента, то из (П.9.13) получаем

. (П.9.13а)

Следовательно, адиабатическое уменьшение магнитного поля охлаждает систему. Метод магнитного охлаждения на основе парамагнитных солей предложили Петер Дебай и Уильям Джиок в 1926 г. Метод применяется для получения температур от 0,3 до 510^–3 К.

Магнитный момент единицы объема, т. е. намагниченность системы во внешнем поле согласно (П.9.13) равна

, (П.9.13б)

тогда магнитная восприимчивость

.

Намагниченность создает собственное магнитное поле системы

.

Для объяснения спонтанной намагниченности ферромагнетика Борис Львович Розинг в 1892 г. и Пьер Вейсс в 1907 г. предложили добавлять в (П.9.13б) возникающее поле к внешнему полю , тогда

.

При выключенном внешнем поле получаем

.

Замена дает уравнение

, (П.9.14)

где введена критическая температура Кюри

. (П.9.15)

При температуре выше критической равенство (П.9.14) нарушается при , тогда получаем решение , следовательно, спонтанная намагниченность не возникает. При температуре ниже критической уравнение (П.9.14) имеет не равные нулю решения. Происходит фазовый переход второго рода, внутренняя симметрия системы изменяется и появляется ферромагнитное состояние в виде спонтанно намагниченных областей – доменов. Используя , из (П.9.14) получаем

.

Спонтанная намагниченность

(П.9.16)

достигает максимума при . Сравнение (П.9.15) и (П.9.16) с экспериментом, дает . Столь сильное взаимодействие магнитных моментов не может создать магнитное поле. Яков Ильич Френкель и независимо Вернер Гейзенберг показали в 1928 г., что электростатическое взаимодействие между электронами атомов сопровождается квантовым обменным взаимодействием, существенно превышающим магнитное взаимодействие, и этим объясняется спонтанная намагниченность ферромагнетика.

17