Вывод формулы для определения скрытой теплоты испарения из распределения Больцмана

Можно приближенно вывести формулу для определения скрытой теплоты испарения, воспользовавшись законом Больцмана, согласно которому концентрация молекул n, обладающих при равновесии потенциальной энергией Е_Р, определяется равенством

(14)

где n₀ – концентрация молекул, обладающих нулевой (по отношению к энергии Е_Р) энергией, T – абсолютная температура, k – постоянная Больцмана.

Уравнение (14) можно применить для равновесия жидкости с соприкасающимся с ней насыщенным паром. Молекулы, покидающие жидкость при испарении, совершают работу против сил притяжения со стороны других молекул, и их энергия изменяется по сравнению с первоначальной на величину совершенной работы. Средняя энергия молекулы, вылетевшей из жидкости, отличается от энергии молекулы внутри жидкости на величину /N_А, где  – молярная скрытая теплота испарения и N_А – число Авогадро. Величина /N_А (за вычетом работы против внешнего давления) и есть энергия U, входящая в формулу (14), поэтому концентрация пара n₀ определяется равенством:

(15)

где n_ж – плотность молекул жидкости, потенциальную энергию которых принимаем равной нулю.

Согласно основному уравнению молекулярно-кинетической теории газов концентрация молекул пара связана с его давлением равенством

n_НП = p/kT. (16)

Подставляя это выражение в (15), получим:

p_НП = n₀kT = (17)

Это уравнение и определяет температурную зависимость упругости насыщенного пара. Значит, упругость насыщенного пара экспоненциально растет с температурой. При строгом рассмотрении уравнения (17) необходимо учитывать, что входящие в него величины  и n_Ж сами зависят от температуры.

Для практического использования уравнение (17) удобнее переписать учтя, что N_Аk = R:

ln p_НП = –/RT + ln T + ln (kn_ж) (18)

или

ln p_НП = –/RT + ln T + C, (19)

где C = ln (k n_ж) – константа, характерная для данной жидкости.

Так как второй член правой части (19) – это медленно изменяющаяся функция температуры, то в первом приближении её можно считать постоянной величиной и включить в константу C. Тогда уравнение (19) примет вид:

ln p_НП = -/RT + C. (20)

Это уравнение совпадает с полученным нами ранее уравнением (10).

Описание установки

Схема установки приведена на рис. 2. Манометр (1) устанавливают примерно на 40 cм выше круглодонной колбы (2). Манометр соединяется с круглодонной колбой с помощью стеклянной трубки длиной 200 мм, которую вставляют в крайнее правое отверстие колбы. В крайнее левое отверстие колбы устанавливается термометр (3), центральное отверстие соединено с вакуумным насосом (4) с помощью одноходового крана. Содержимое круглодонной колбы может быть полностью изолировано от внешней среды при помощи герметичных соединений, что достигается при помощи специальных пробок и прокладок.

Сосуд (5) используют как термобаню для колбы. Сосуд находится на нагревателе (6), оснащенном мешалкой для равномерного перемешивания воды.

Рис.2. Экспериментальная установка для определения теплоты испарения

1- манометр, 2 - круглодонная колба, 3 – термометр, 4 - вакуумный насос, 5 – емкость-термобаня , 6 – нагреватель.

Упражнение 1. Определение скрытой теплоты испарения воды

1. Соберите установку для проведения измерений в соответствии с рис.2. Колбу (2)заполните на ¾ дистиллированной водой и закройте специальными пробками с герметичными прокладками. Термометр должен находиться в нижней части колбы. Нижний конец прямой стеклянной трубки сначала поднимите вверх так, чтобы он оказался выше поверхности воды в колбе.

2. Сосуд 5, объёмом 600 мл, заполните водопроводной водой, и используйте как термобаню для колбы. Сосуд поставьте на нагреватель.

3. Перед началом измерений показания манометра (1) равны нулю. Это означает, что давление внутри колбы равно атмосферному давлению p₀. Оно может быть определено с помощью обычного барометра. Необходимо определить атмосферное давление p₀ и записать показания.

4. Включите нагреватель, поставив ручку регулировки нагрева в положение 300 – 325 ^оС (это температура поверхности плитки).

5. Включите магнитную мешалку, поставив регулятор частоты вращения в положение 500 – 800 об/мин.

6. Когда температура воды в колбе достигнет 35°C, из воздушного пространства выше уровня воды откачайте воздух. Для этого нажмите кнопку «Пуск» на насосе. После того как стрелка манометра установится вблизи значения (-(90000 – 98000)) Па, насос выключите. Убедитесь, что нет утечки воздуха – показания манометра не изменяются.

7. Закройте одноходовой кран, и сосуд будет полностью изолирован от внешней среды. Кран остается закрытым в ходе последующего нагревания.

8. После того как воздух откачали, стеклянную трубку, соединяющую колбу с манометром аккуратно опустите до тех пор, пока она не окажется в воде. Манометр и трубка автоматически заполняются водой. Эти действия позволяют избежать создания «мертвого объёма» внутри манометра.

9. Начиная с температуры t = 40 °C, и далее при повышении температуры на каждые 5  C до t = 80 °C, фиксируйте показания температуры (t) воды и давления над ней (p_маном). Все измерения должны быть сделаны за короткое время (не более 20 – 25 минут), чтобы избежать искажения результатов из-за утечки воздуха. Результаты измерений занесите в таблицу.

Таблица

p0 = Па
t,   C	pманом, Па	pНП, Па	Т, К	1/Т, К^-1	ln рНП

10. После окончания измерений выключите нагреватель и магнитную мешалку.

11. Откройте одноходовой кран, соединяющий колбу с насосом. Воздух попадет в колбу, давление будет приближаться к атмосферному.

12. По результатам измерений рассчитайте давление насыщенного пара в сосуде по формуле

p_НП = p₀ – p_маном  (21)

13. Постройте график зависимости давления насыщенного пара р_НП от Т и сделайте вывод о характере зависимости.

14. Постройте график зависимости ln р_НП от 1/Т. Используя метод парных точек или метод наименьших квадратов, определите тангенс угла наклона полученной зависимости (tg ).

15. Рассчитайте молярную теплоту испарения воды по формуле (12) и удельную теплоту испарения по (13). Сравните полученные результаты со справочными данными.

Упражнение 2. Определение скрытой теплоты испарения спирта

1. Аккуратно замените воду, находящуюся в круглодонной колбе, на спирт. Колбу заполните на ¾ и закройте специальными пробками с герметичными прокладками. Термометр должен находиться в нижней части колбы. Нижний конец прямой стеклянной трубки сначала поднимите вверх так, чтобы он оказался выше поверхности спирта в колбе. Показания термометра занесите в заранее подготовленную таблицу (см.Упражнение 1).

2. Перед началом измерений показания манометра должно быть равно нулю. Определите атмосферное давление p₀ и запишите его значение.

3. Из воздушного пространства выше уровня спирта откачайте воздух. Для этого нажмите кнопку «Пуск» на насосе. После того как стрелка манометра установится вблизи значения (-(90000 – 98000)) Па, насос выключите. Убедитесь, что нет утечки воздуха – показания манометра не изменяются.

4. Закройте одноходовой кран, и сосуд будет полностью изолирован от внешней среды. Кран остается закрытым в ходе последующего нагревания.

5. После того как воздух откачали, стеклянную трубку, соединяющую колбу с манометром аккуратно опустите до тех пор, пока она не окажется в жидкости. Манометр и трубка автоматически заполняются жидкостью.

6. Включите нагреватель, поставив ручку регулировки нагрева в положение 300 – 325 ^оС (это температура поверхности плитки).

7. Включите магнитную мешалку, поставив регулятор частоты вращения в положение 500 – 800 об/мин.

8. Начиная с комнатной температуры, и далее при повышении температуры на каждые 3 – 5  C до t = 60 °C, фиксируйте показания температуры (t) спирта и давления над ним (p_маном). Все измерения должны быть сделаны за короткое время, чтобы избежать искажения результатов из-за утечки воздуха. Результаты измерений занесите в таблицу.

9. После окончания измерений выключите нагреватель и магнитную мешалку.

10. Откройте одноходовой кран, соединяющий колбу с насосом.

11. По результатам измерений по формуле (21) рассчитайте давление насыщенного пара в сосуде.

12. Постройте график зависимости давления насыщенного пара р_НП от Т и сделайте вывод о характере зависимости.

13. Постройте график зависимости ln р_НП от 1/Т. Используя метод парных точек или метод наименьших квадратов, определите тангенс угла наклона полученной зависимости (tg ).

14. Рассчитайте молярную теплоту испарения спирта по формуле (12) и удельную теплоту испарения по (13). Сравните полученные результаты со справочными данными.