3. Медиана случайной величины

Вводится лишь для НСВ, хотя формально ее можно определить и для ДСВ.

Определение 42. Медианой непрерывной случайной величины называется такое ее значение х = Ме, относительно которого равновероятно получение большего или меньшего значения случайной величины, т. е. для которого справедливо равенство:

,

( для НСВ безразлично или )

(по определению функции распределения).

Таким образом, медиана – это корень уравнения : . (3)

Геометрически: медиана – это абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кривой распределения, делится пополам.

Замечание. В случае симметричного модального распределения медиана совпадает с мат. ожиданием и модой.

Когда медиана входит в формулы как определенное число, то ее обозначают h_X.

Пп 2. Моменты

Данные характеристики описывают некоторые свойства распределения СВ. В механике, например, для описания распределения масс существуют статические моменты, моменты инерции…

Определение 43. Начальным моментом s – того порядка для ДСВ и НСВ называется математическое ожидание s – той степени этой случайной величины:

.

Замечание. При s = 1 , т. е. математическое ожидание – это первый начальный момент.

а) Для дискретных случайных величин: . (4)

Замечание. Определение совпадает с определением начального момента порядка s в механике, если на оси (Ох) в точках х₁ , х₂, …,х_n сосредоточены соответственно массы р₁, р₂ , …, р_n.

b) Для непрерывных случайных величин: . (5)

Определение 44. Центрированной случайной величиной, соответствующей величине Х, называется отклонение случайной величины Х от ее математического ожидания:

.

Рассмотрим математическое ожидание центрированной ДСВ:

.

Аналогично, для НСВ .

Центрирование СВ равносильно переносу начала координат в среднюю, центральную точку, абсцисса которой равна математическому ожиданию.

Определение 45. Моменты центрированной случайной величины называются центральными моментами.

Определение 46. Центральным моментом s – того порядка для ДСВ и НСВ называется математическое ожидание s – той степени соответствующей центрированной случайной величины:

.

а) Для дискретных случайных величин: . (6)

b) Для непрерывных случайных величин: . (7)

Замечание. Для любой СВ центральный момент 1-го порядка равен 0: , так как мат. ожидание центрированной СВ равно 0.

Рассмотрим подробнее центральные моменты 2, 3, 4 порядков и выведем соотношения, связывающие начальные и центральные моменты.

– дисперсия

Определение 47. Дисперсией случайной величины Х D[X] называется мат ожидание квадрата соответствующей центрированной случайной величины:

а) Для дискретных случайных величин: D[X] = . (8)

b) Для непрерывных случайных величин: D[X] = . (9)

Дисперсия случайной величины – характеристика рассеивания, разбросанности значений случайной величины около ее мат. ожидания.

Когда дисперсия входит в формулы как определенное число, то ее обозначают D_X.

Механическая интерпретация D[X]: Дисперсия – момент инерции заданного распределения масс относительно центра тяжести (мат. ожидания).

Рассмотрим ДСВ. (Для НСВ получаем аналогично)

.

– связь между начальным и центральным моментом 2-го порядка. (10)

Свойства .

1. , где С – постоянная.

2. .

3. .

4. для независимых СВ.

5. , a, b – постоянные.

Замечание. D[X] имеет размерность квадрата случайной величины. Для более наглядной характеристики рассеивания удобнее пользоваться величиной, размерность которой совпадает с размерностью случайной величины. Для этого из D[X] извлекают корень:

, (11)

где – среднее квадратическое отклонение или стандарт случайной величины Х.

Когда среднее квадратическое входит в формулы как определенное число, то его обозначают .

Замечание. Математическое ожидание и дисперсия характеризуют наиболее важные черты распределения: его положение и степень разбросанности. Для более подробного описания применяются моменты высших порядков.

– асимметрия

Асимметрия случайной величины – характеристика асимметрии или скошенности распределения значений случайной величины.

Теорема. Если распределение симметрично относительно мат. ожидания (т. е. масса распределена симметрично относительно центра тяжести), то все моменты нечетного порядка (если они существуют) равны нулю.