- •Теория вероятностей
- •§ 1. Предмет теории вероятностей
- •§ 2. Случайные события или исходы. Множество элементарных событий. Основные понятия
- •Примеры на построение множества ω.
- •Алгебраические операции над событиями
- •Диаграмма Венна.
- •Свойства операций
- •§ 3. Различные подходы к определению вероятности
- •П. 1. Аксиоматическое определение вероятности
- •П. 2. Классическое определение вероятности
- •Решение.
- •Решение.
- •Пп. 1. Комбинаторный метод вычисления вероятностей в классической схеме
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •Пп. 2. Геометрические вероятности в классической схеме
- •Решение.
- •П. 3. Статистическое определение вероятности
- •§ 4. Основные теоремы теории вероятностей п.1. Теоремы сложения вероятностей
- •Доказательство.
- •Доказательство (методом математической индукции).
- •Доказательство.
- •Доказательство.
- •Решение.
- •Д оказательство (геометрическое)
- •П.2. Теоремы умножения вероятностей
- •Доказательство.
- •Решение.
- •Решение.
- •§ 5. Формулы полной вероятности и формула Байеса п. 1. Формула полной вероятности (следствие обеих основных теорем сложения и умножения)
- •Решение.
- •П. 2. Формула Байеса (Бейеса) (следствие теоремы умножения и формулы полной вероятности)
- •Решение.
- •§ 6. Последовательность независимых испытаний п. 1. Независимые испытания
- •П. 2. Формулы Бернулли.
- •Решение.
- •Решение.
- •Замечания.
- •Решение.
- •П. 3. Предельные теоремы в схеме Бернулли
- •Решение.
- •Решение.
- •Доказательство.
- •Решение.
- •П. 4. Наивероятнейшее число появления события в независимых испытаниях
- •Решение.
- •§ 7. Случайные величины п. 1. Основные определения
- •П. 2. Законы распределения случайных величин. Законы распределения дискретных случайных величин. Функция распределения
- •Формы закона распределения дсв.
- •Решение.
- •Решение.
- •3. Функция распределения – универсальный закон распределения (для дсв и нсв).
- •Свойства f(X).
- •Доказательство.
- •Графики функции распределения.
- •Решение.
- •Решение.
- •П. 3. Плотность распределения вероятностей нсв
- •Свойства плотности распределения
- •2. Условие нормировки: интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения равен 1: . (4) Доказательство
- •Решение.
- •Решение.
- •П. 4. Числовые характеристики случайных величин, их роль и назначение
- •Пп 1. Характеристики положения (математическое ожидание, мода, медиана)
- •1. Математическое ожидание или среднее значение случайной величины
- •2. Мода случайной величины
- •3. Медиана случайной величины
- •Пп 2. Моменты
- •Доказательство.
- •И эксцесс
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •П. 5. Законы распределения вероятностей дискретных случайных величин: биномиальный, Пуассона, гипергеометрический. Пп 1. Биномиальное распределение
- •Решение.
- •Пп 2. Распределение Пуассона
- •Решение.
- •Решение.
- •Пп 3. Гипергеометрическое распределение
- •Решение.
- •П. 6. Законы распределения вероятностей непрерывных случайных величин: равномерный, показательный, нормальный Пп 1. Равномерное распределение или закон равномерной плотности
- •Решение.
- •Пп 2. Показательное или экспоненциальное распределение
- •Решение.
- •Пп 3. Нормальный закон распределения
- •Смысл параметров m и σ
- •Решение.
- •§ 8. Системы случайных величин или случайные векторы п. 1. Основные понятия.
- •П. 2. Законы распределения свдт и свнт
- •Закон. Таблица распределения – закон распределения свдт.
- •Решение.
- •Решение.
- •Закон. Функция распределения – закон распределения свдт и свнт.
- •Решение.
- •3. Плотность распределения (для свнт)
- •Решение.
- •Решение.
- •П. 4. Плотности распределения отдельных величин, входящих в систему. Равномерное и нормальное распределения. Условные законы распределения
- •Решение.
- •Решение.
- •П. 5. Числовые характеристики системы. Корреляция. Линии регрессии
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •§ 9. Закон больших чисел. Предельные теоремы теории вероятностей
Решение.
Вероятность брака: 1 – [ ] = 2 – = 2 – 2 ∙ 0,7580 ≈ 0,484.
§ 8. Системы случайных величин или случайные векторы п. 1. Основные понятия.
При изучении случайных явлений в зависимости от их сложности приходится использовать два, три и большее число случайных величин.
Например, 1) попадание снаряда в цель определяется не одной, а двумя случайными величинами: абсциссой и ординатой точки попадания, 2) случайное отклонение точки разрыва снаряда при дистанционной стрельбе определяется комплексом трех случайных величин: тремя координатами этой точки.
Определение 57. Совместное рассмотрение двух или нескольких случайных величин приводит к системе случайных величин или к случайному вектору.
(X, Y) – двумерный случайный вектор или система двух СВ.
Изучать систему – значит изучать сами случайные величины, ее составляющие; связи и зависимости между ними.
Геометрическая интерпретация системы: 1) систему двух случайных величин (X, Y) рассматривают как случайную точку на плоскости (Охy) или как случайный вектор с составляющими X, Y; 2) систему трех случайных величин (X, Y, Z) рассматривают как случайную точку на плоскости (Охyz) или как случайный вектор с составляющими X, Y; Z и т.д.
В зависимости от типа случайных величин, образующих систему, могут быть дискретные, непрерывные и смешанные системы.
Определение 58. Двумерный случайный вектор (X, Y) называется вектором дискретного типа (СВДТ), если множество его возможных значений не более, чем счетно.
Определение 59. (первое определение) Двумерный случайный вектор (X, Y) называется вектором непрерывного типа (СВНТ), если множество его возможных значений непрерывно заполняет некоторую область плоскости (Охy).
Определение 60. Законом распределения системы случайных величин называется соотношение, устанавливающее связь между областями возможных значений системы случайных величин и вероятностями появления системы в этих областях.
П. 2. Законы распределения свдт и свнт
Закон. Таблица распределения – закон распределения свдт.
Рассмотрим двумерный случайный вектор (X, Y), где X и Y – дискретные случайные величины с возможными значениями и , т.е. множеством возможных значений вектора является пара ( , ), i = 1, 2,…, m; j = 1, 2,…, n. Тогда распределение системы характеризуется указанием вероятностей того, что СВ Х примет значение и одновременно с этим СВ Y примет значение : . Данные вероятности сводятся в таблицу:
xi \ yj |
y1 |
y2 |
yj |
yn |
x1 |
p11 |
p12 |
… |
p1n |
x2 |
p21 |
p22 |
… |
p2n |
xi |
… |
… |
… |
… |
xm |
pm1 |
pm2 |
… |
pmn |
, . .
Пример 1. Из цифр 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9 наудачу отбирают две цифры. Х – число четных цифр в выборке, Y – число нечетных. Описать закон распределения.