3.2. Параметры Родрига – Гамильтона, Кейли – Клейна, кватернионы и их дуальные аналоги

В соответствии с теоремой Эйлера – Даламбера твердое тело с одной закрепленной точкой может быть переведено из любого начального положения в любое конечное с помощью одного поворота вокруг некоторой оси, которая называется осью Эйлера (рис. 4). Поворот можно описать выражением (12),

.

(12)

г

Рис. 4

де - единичный вектор эйлеровой оси, . - угол поворота

Таким образом, для описания вращательного движения ТТ используется четыре параметра , где - проекция на соответствующую ось координат. Четвертым уравнением – является уравнение связи, имеющее следующий вид:

(13)

В теории конечного поворота вектор (12) называется вектором истинного Эйлерова поворота. Попытка использования указанного параметра для описания вращательного движения ТТ показала, что он приводит к появлению достаточно неудобных и громоздких выражений, поэтому в дальнейшем вместо вектора (12) было предложено использовать другой, пропорциональный ему вектор который назван вектором конечного поворота:

(14)

Вектор конечного поворота (14) позволяет получить значительно более простые и компактные уравнения кинематики.

Для решения конкретных задач кинематики обычно требуются проекции вектора (14) на координатные оси. Обозначив проекции векторы на координатные оси через , и углы между вектором и соответствующими осями через , можно записать

.

(15)

Вектор и его проекции не нашли широкого применения в механике, так как в последствии были предложены другие, более удобные параметры, которые получаются непосредственно из выражений (14) и (15).

В теории конечного поворота для описания вращательного движения вместо величин более удобными оказались пропорциональные им величины, названные параметрами Эйлера (Родрига - Гамильтона) (16):

.

(16)

Их отличием от предыдущих параметров является то, что они позволяют придать уравнения кинематики более симметричный вид. В выражение (16) введен коэффициент пропорциональности . Воспользовавшись уравнением нормирования (17) можно показать, что определяется выражением (18)

	(17)
	(18)

Если в уравнение (16) подставить (17) с учетом (16), то окончательно можно получить:

(19)

Таким образом, для описания вращательного движения ТТ можно использовать четыре параметра Эйлера, которые обладают следующими достоинствами: 1) в отличие от углов Эйлера (Крылова) они во многих случаях позволяют избавиться от операций с тригонометрическими функциями, что повышает эффективность использования ЭВМ при решении задач; 2) кинематические уравнения в параметрах Эйлера (Родрига – Гамильтона) являются линейными уравнениями, которые не вырождаются при любом угловом положении ТТ, в сравнение: аналогичные уравнения в углах Эйлера нелинейны и имеют особые точки.

Рассмотрим параметры Кейли-Клейна и кватернионы, составляющими которых являются параметры Родрига – Гамильтона.

Параметры Кейли – Клейна в настоящее время особенно широко используются для описания вращательного движения в квантовой механике. В обычной механике сравнительно редко. Эти параметры представляют собой комплексные комбинации параметров Родрига –Гамильтона и имеют следующий вид:

(20)

Видно, что параметры Кейли –Клейна попарно представляют собой комплексно – сопряженные числа, поэтому они связаны следующим соотношением:

.

(21)

С геометрической точки зрения, при помощи параметров Кейли –Клейна повороту ТТ ставиться в соответствие некоторое дробно – линейное преобразование в плоскости комплексного переменного

.

(22)

Смысл выражения (22) состоит в том, что в случае задания поворота параметрами Кейли – Клейна координата z после поворота переходит в координату z.

Использование в механике параметров Эйлера в дальнейшем привело к тому, что на их основе были образованы новые параметры, получившие название кватернионов.

Кватернион представляет собой гиперкомплексное число следующего вида:

.

(23)

где - определяются выражением (19).

Свойства и алгебра кватернионов достаточно широко представлены в литературе [4].

Нужно отметить, что кватерниону поворота (23) можно поставить в соответствие кватернионные матрицы размерностью 44, при этом для описания вращательного движения используется хорошо разработанный аппарат матричной алгебры, а матрицы компонуются из четырех параметров Эйлера, что делает описание более компактным в сравнении, например, с методом направляющих косинусов, где используется 9 различных параметров.

Для описания вращательного движения можно использовать кватернионные матрицы двух типов , либо (24), а в случае если в алгоритме часто используется коммутативное произведение матриц, то иногда удобно использовать одновременно обе матрицы.

.

(24)

Описание произвольного пространственного движения с помощью нетрадиционных параметров возможно при использовании теории дуальных чисел.

Дуальным числом называют число, которое может быть представлено в следующем виде:

,

(25)

где а – главная часть, - комплексная (моментная) части дуального числа, причем - вещественные числа, а - комплексность Клиффорда, такая, что .

Дуальным углом между двумя осями, произвольно расположенными в пространстве, называют фигуру, которая образована данными осями и отрезками прямой, пересекающим эти оси под прямым углом (рис. 5).

Обозначим через аb кратчайшее расстояние между осями, и . Тогда дуальный угол  будет иметь вид:

,

(26)

здесь - угол между осями и , а - кратчайшее расстояние между осями. Положительное направление определяется направлением .

Таким образом, дуальный угол позволяет описывать одним числом совокупность поступательного и вращательного движения, поскольку переход от к z₂ в пространстве может быть осуществлен за счет совокупности двух движений. Все кинематические параметры, применяемые для углового движения можно использовать для описания пространственного движения, если их элементы заменить дуальными величинами.

Таким образом, в случае произвольного пространственного движения для вектора конечного перемещения получим винт конечного перемещения. Параметры Эйлера (Родрига – Гамильтона) заменят их дуальные аналоги, аналогично получим дуальные параметры Кейли – Клейна и дуальные кватернионы, называемые бикватернионами.

Рис. 5

Рис. 6

По теореме Шалля ТТ может быть переведено из любого начального положения в любое конечное с помощью одного винтового перемещения (рис. 6). Таким образом, вместо вектора конечного перемещения (14) можно записать винт конечного перемещения (27)

, где

(27)

И для проекций винта получим

,

(28)

угол - угол между прямой l и i-ой координатной осью

Дуальные параметры Эйлера (Родрига – Гамильтона) по аналогии с обычными параметрами можно выразить следующими соотношениями:

(29)

Дуальные параметры Кейли- Клейна будут иметь вид (30)

(30)

Бикватернионы, предложенные Клиффордом, позволяют описывать пространственное движение в более удобной и компактной форме. Бикватернион вводится по аналогии с обычным кватернионом, при этом вещественные параметры заменяются их дуальными аналогами.

, .

(31)

где - обычные вещественные параметры Эйлера, - параметры винтового движения. Бикватернионная матрица имеет следующий вид:

.

(32)