Контрольні питання.

1. Що розуміють під дискретизацією та під квантуванням?

2. Що з себе представляють АЦП прямого перетворення, в яких пристороях його краще використовувати?

3. Які додаткові пристрої необхідно підключити до схеми, щоб отримати цифровий відлік виміряємої напруги?

4. Принцип роботи АЦППН.

5. Принцип роботи АЦПП.

Використана література.

4. Файл справки Electronics workbench 5.12

5. http://workbench.online.kg/

6. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. – M. Высш. шк., 1988.

7. Д. Жарников. Радиолюбитель. Ваш компьютер, № 12, 1999.

8. В. Разевиг. Электронная лаборатория http://softline.perm.ru/interactive/ articles /art1.htm

9. Цвелая И. А. Использование системы компьютерного моделирования Electronics Workbench при изучении электро—технических дисциплин в неинженерных. ВУЗах

7. http://logic-bratsk.ru/radio/ewb/ewb_kg/index.htm

Лабораторна робота №4.

Тема: Моделювання на ЕОМ випадкових сигналів. Кореляційна функція та спектри випадкових сигналів.

Мета: Навчитися моделювати та аналізувати випадкові сигнали за допомогою кореляційних функцій та спектрального аналізу.

Завдання.

Ознайомитися з функціональними характеристиками випадкового процесу, з моделями випадкових сигналів і перешкод, з особливостями кореляційного та спектрального аналізу.

Короткі теоретичні відомості.

Випадковий процес.

Випадковий процес Х(t) є функцією, яка відрізняється тим, що значення, що приймаються нею, в будь-які довільні моменти часу по координаті t є випадковими. Строго з теоретичних позицій, випадковий процес X(t) слід розглядати як сукупність тимчасових функцій x_k(t), що мають певну загальну статистичну закономірність. При реєстрації випадкового процесу на певному тимчасовому інтервалі здійснюється фіксація одиничної реалізації x_k(t) з незліченного числа можливих реалізацій процесу X(t). Ця одинична реалізація називається вибірковою функцією випадкового процесу X(t). Приклади вибіркових функцій модельного випадкового процесу X(t) приведені на рис. 4.1.

Рис. 4.1. Вибіркові функції випадкового процесу.

З практичної точки зору вибіркова функція є результатом окремого експерименту, після якого дану реалізацію x_k(t) можна вважати детермінованою функцією. Сам випадковий процес в цілому повинен аналізуватися з позиції нескінченної сукупності таких реалізацій, створюючих статистичний ансамбль. Повною статистичною характеристикою такої системи є N-мірна щільність вірогідності р(x_n;t_n). Проте, як експериментальне визначення N-мірної щільності вірогідності процесів, так і їх використання в математичному аналізі представляє значні математичні труднощі. Тому на практиці звичайно обмежуються одно- і двовимірною щільністю вірогідності процесів.

Функціональні характеристики випадкового процесу.

Рис. 4.2. Перетини випадкового процесу X(t).

Допустимо, що випадковий процес X(t) заданий ансамблем реалізацій {x₁(t), x₂(t),. x_k(t).}. У довільний момент часу t₁ зафіксуємо зафіксуємо значення всіх реалізацій {x₁(t₁), x₂(t₁),. x_k(t₁).}. Сукупність цих значень є випадковою величиною X(t₁) і є одновимірним перетином випадкового процесу X(t). Приклади перетинів по 100 вибіркам випадкового процесу X(t) в крапках t₁ і t₂ (рис. 4.1) приведені на рис. 4.2.

Одновимірна функція розподілу вірогідності (x,t_i) визначає вірогідність того, що у момент часу ti значення випадкової величини X(ti) не перевищить значення x:

F(x,t_i) = P{X(t_i)≤x}.

Очевидно, що в діапазоні значень вірогідності від 0 до 1 функцію F(x,t) є такою, що неубуває з граничними значеннями F(-,t)=0 і F(,t)=1. При відомій функції F(x,t) вірогідність того, що значення X(t_i) у вибірках потраплятиме в певний інтервал значень [а, b] визначатиметься виразом:

P{a<X(t_i)≤b} = F(b,t_i) – F(a,t_i).

Одновимірна щільність вірогідності p(x,t) випадкового процесу Х(t) характеризує розподіл вірогідності реалізації випадкової величини Х(t_i) в довільний момент часу ti. Вона є похідною від функції розподілу вірогідності:

p(x,t_i) = dF(x,t_i)/dx.

Випадкові процеси і їх функції характеризуються невипадковими функціями математичного очікування (середнього значення), дисперсії і кореляції.

Математичне очікування

Математичне очікування є статистичним усереднюванням випадкової величини X(t_i), під яким розуміють усереднювання по ансамблю реалізацій в якому або фіксованому перетині t_i випадкового процесу. Відповідно, функція математичного очікування є теоретичною оцінкою середнього зваженого значення випадкового процесу по тимчасовій осі:

m_x(t)  M{Х(t)} = x p(x;t) dx, (4.1)

Математичне очікування m_x(t) є невипадковою складовою випадкового процесу X(t). На рис. 4.1. і 4.2 невипадкові складові m(t) моделі випадкового процесу X(t) виділені пунктиром і відповідають вибіркам N  .

Функція дисперсії

Функція дисперсії випадкового процесу є теоретичною оцінкою середнього зваженого значення різниці Х(t) -mx(t), яка називається флюктуаційною частиною процесу:

D_x(t) = M{[Х(t)-m_x(t)]²} = M{X²(t)} - m_x²(t) = [x_o(t)]² p(x;t) dx, (4.2)

x_o(t) = x(t)-m_x(t).

Функція середнього квадратичного відхилення

Функція середнього квадратичного відхилення служить амплітудною мірою розкиду значень випадкового процесу по тимчасовій осі щодо математичного очікування процесу:

_x(t) = . (4.3)

Рис. 4.3. Функція середнього квадратичного відхилення

Враховуючи останній вираз, дисперсія випадкової величини звичайно позначається індексом _x².

На рис. 4.3 приведений приклад флюктуационной складової процесу X(t) (рис. 4.1) у одній з реалізацій в зіставленні з середнім квадратичним відхиленням ± випадкових величин від математичного очікування m(t).

Кореляційні функції випадкових процесів.

Характеристикою динаміки зміни двовимірної випадкової величини {X(t_i), X(t_j)} є кореляційна функція, яка описує випадковий процес в цілому:

R_X(t_i,t_j) = M{X(t₁) X(t₂)}.

Кореляційна функція є статистично усередненим твором значень випадкового процесу X(t) в моменти часу t_i і t_j по всіх значеннях тимчасових осей t_i і t_j, а отже теж є двовимірною функцією. В термінах теорії вірогідності кореляційна функція є другим початковим моментом випадкового процесу.

Одиничні реалізації корельованих процесів в довільний момент часу можуть бути такими ж випадковими, як і некорельованих, а в межі, у всіх перетинах обидва процеси можуть мати один і той же закон розподілу випадкових величин. Проте динаміка розвитку по координаті t (або будь-якої іншої незалежної змінної) одиничної реалізації корельованого процесу в порівнянні з некорельованим є плавнішою, а, отже, в корельованому процесі є певний зв'язок між послідовними значеннями випадкових величин. Оцінка ступеня статистичної залежності миттєвих значень якого-небудь процесу Х(t) в довільні моменти часу t₁ і t₂ і проводиться функцією кореляції. По всьому простору значень випадкового процесу X(t) кореляційна функція визначається виразом:

R_Х(t_i,t_j) = x(t_i)x(t_j) p(x_i,t_j; x_i,t_j) dx_i dx_j, (4.4)

Рис. 4.4. Двовимірна щільність вірогідності і кореляційна функція процесу X(t).

На рис. 4.4 приведена форма модельного випадкового процесу X(t) в одній вибірці із значною невипадковою складовою, що змінюється. Модель задана на інтервалі 0-Т (Т=100) в дискретній формі з кроком t=1. Кореляційна функція обчислена по заданій щільності вірогідності моделі.

При аналізі випадкових процесів другий момент часу t_j зручно задавати величиною зрушення щодо першого моменту, який при цьому може бути заданий у вигляді координатної змінної:

R_Х(t,t+) = M{Х(t)Х(t+)}. (4.5)

Функція, що задається цим виразом, звичайно називається автокореляційною функцією випадкового процесу.

Взаємні моменти випадкових процесів

Взаємні моменти випадкових процесів другого порядку дають можливість оцінити сумісні властивості двох випадкових процесів X(t) і Y(t) шляхом аналізу довільної пари вибіркових функцій x_k(t) і y_k(t).

Міра зв'язку між двома випадковими процесами X(t) і Y(t) також встановлюється кореляційними функціями, а саме - функціями взаємної кореляції і взаємної коваріації. У загальному випадку, для довільних фіксованих моментів часу t₁ = t і t₂ = t+:

R_XY(t,t+) = M{(X(t)(Y(t+)}. (4.6)

K_XY(t,t+) = M{(X(t)-m_x(t))(Y(t+)-m_y(t+))}. (4.7)

Взаємні функції є довільними функціями (не володіють властивостями парності або непарності), і задовольняють наступним співвідношенням:

R_xy(-) = R_yx(), (4.8)

|R_xy()|²  R_x(0)R_y(0).

Якщо один з процесів центрований, то має місце R_xy(t) = K_xy(t).

Нормована взаємна коваріаційна функція (коефіцієнт кореляції двох процесів), яка характеризує ступінь лінійної залежності між випадковими процесами при даному зрушенні одного процесу по відношенню до другого.

Спектри потужності випадкових функцій

Спектри потужності випадкових функцій визначаються аналогічно спектрам потужності детермінованих сигналів. Середня потужність випадкового процесу X(t), зареєстрованого в процесі однієї реалізації на інтервалі 0-Т, з використанням рівності Парсеваля може бути обчислена за формулою:

P_T = [x²(t)/T] dt = [|X_T(f)|²/T] df,

де X(f) - спектральна щільність одиничної реалізації x(t). При збільшенні інтервалу Т енергія процесу на інтервалі необмежено наростає, а середня потужність прагне до певної межі:

P = [ |X_T(f)|²] df,

де підінтегральна функція є спектральною щільністю середньої потужності даної реалізації випадкового процесу:

W(f) = |X_T(f)|².

Дуже часто цей вираз називають просто спектром потужності. Щільність потужності є речовинною, ненегативною і парною функцією частоти. У загальному випадку, щільність потужності необхідно усереднювати по безлічі реалізацій, але для ергодичних процесів допустимо усереднювання по одній достатньо тривалої реалізації. Середня потужність будь-якої реалізації центрованого процесу рівна його дисперсії:

D_x = W(f) df.

Взаємні спектральні функції.

Статистичний зв'язок двох випадкових процесів X(t) і Y(t) оцінюється по функціях взаємної коваріациі K_xy(t) або K_yx(t). Функції взаємної коваріації в загальному випадку є довільними і відповідно функції взаємного спектру є комплексними виразами:

S_xy(_i) = (1/T) K_xy() exp(-j_i) d, (4.9)

при цьому: S_xy(-) = S_xy^*() = S_yx().

Аналогом, квадратури нормованої взаємної коваріаційної функції або функції коефіцієнтів коваріації двох процесів (17.1.11), в спектральній області є функція когерентності, яка визначається виразом:

 _xy²() = |S_xy()|²/(S_x()S_y()), (4.10)

і для будь-яких задовольняє нерівностям 0  _xy²()  1.

Функція когерентності звичайно використовується при аналізі лінійних систем перетворення вхідної функції X(t) у вихідну функцію Y(t) (розглянуто нижче).

Моделі випадкових сигналів і перешкод.

Найбільш поширеними моделями випадкових сигналів і перешкод є телеграфний сигнал, білий шум, гаусівський випадковий процес, гаусівський шум.

Рис. 4.5. Телеграфний сигнал.

Телеграфний сигнал - це випадковий процес x_k(t), що є послідовністю прямокутних позитивних і негативних імпульсів з випадковою тривалістю і детермінованими значеннями амплітуд з і -с, причому зміни знаку усередині будь-якого інтервалу (t, t+) відбуваються з інтенсивністю а у випадкові моменти часу і не залежать від процесів в суміжних тимчасових інтервалах. Якщо вважати випадковою величиною телеграфного сигналу значення n - кількість змін знаку усередині інтервалу tрозподіл вірогідності значень n описуватиметься законом Пуассона:

P(n) = (||)² exp(-||)/n! (4.11)

Рис. 4.5. Функция корреляции сигнала.

При обчисленні кореляційної функції телеграфного сигналу кожен окремий добуток x_k(t)x_k(t+) равно либо с², либо -с² в залежності від збігу або неспівпадання знаків xk(t) і xk(t+), причому вірогідність с2 рівна сумі вірогідності Р(0)+Р(2)+Р(4)+..., а вірогідність -с² визначається відповідно сумою вірогідності Р(1)+Р(3)+Р(5)+... .

Следовательно:

R_x() = M{x_k(t)x_k(t+)}= c² (-1)ⁿP(n) =

= c² exp(-||) (-1)ⁿ(|)ⁿ/n! = c² exp(-2||). (4.12)

Параметр повністю визначає коваріационниє і спектральні властивості телеграфного сигналу. При  0 характеристики сигналу наближаються до характеристик постійної складової, при    - до характеристик білого шуму.

Інтервал коваріациі сигналу

_ = 2 (R_x()/c²) d = 2/. (4.13)

Звідси витікає, що чим більше , тим менше час коваріациі процесу. При   0 T_k   і процес вироджується в детермінований (прагне до постійної складової). При    T_k  0 і процес вироджується в білий шум з некорельованими відліками навіть на сусідніх тимчасових крапках.

Рис. 4.6. Спектр сигнала

Двостороння спектральна щільність сигналу:

S_x() = R_x() exp(-j) d = c²/(²+²). (4.14)

Одностороння спектральна щільність:

G_x()=2 R_x() exp(-j) d= 2c²/(²+²). (4.15)

Ширина спектру телеграфного сигналу:

_= G_x( dG_x(0)  S_x() dS_x(0) = . (4.16)

Звідси витікає, що спектр випадкового процесу тим ширше, чим менше інтервал коваріациі процесу.

Білий шум є стаціонарним випадковим процесом x(t) з постійною спектральною щільністю G_x(f) = ^, рівної дисперсії значень x(t). Іншими словами, всі спектральні складові білого шуму мають однакову енергію (як білий колір містить всі кольори видимого спектру).

По своєму фізичному сенсу спектральна щільність - це потужність процесу, яка доводиться на 1 Гц смуги частот. Але тоді ідеального білого шуму на практиці не може існувати, оскільки для нього повинна була б виконуватися умова:

R_x(0) = G_x(f) df = (²/2)(0) = , (4.17)

тобто потужність білого шуму і його дисперсія рівна нескінченність, а значення шуму не корелюванні для будь-яких ||  0, оскільки кореляційна функція є ідеальною дельта-імпульс. Проте багато перешкод в радіотехніці, в техніці зв'язку і в інших галузях розглядають як білий шум, якщо виконується наступне співвідношення між шириною спектрів корисних сигналів і шумів _{сигнал}/B_k.шум << 1, і спектральна щільність шумів слабо змінюється в інтервалі спектру сигналу.

Рис. 4.7. Функции корреляции белого шума в частотном интервале 0-В.

Якщо частотний діапазон спектру, на якому розглядаються сигнали і перешкоди, рівний, то спектральна щільність шуму задається у вигляді:

G_x(f) = ², 0  f  B; G_x(f) = 0, f > B, (17.4.18)

при цьому кореляційна функція шуму визначається виразом:

R_x() = ²Bsin(2B) / 2B. (4.19)

Ефективна шумова ширина спектру:

B_k = R_x(0)/G_x(f)_max = B. (4.20)

Ефективний шумовий час коваріації:

T_k = 2 |R_x()|d /R_x(0). (4.21)

Реальний шумовий час коваріації доцільно визначити по ширині головного максимуму функції R_x(), в якому зосереджена основна частина енергії шумів, при цьому Tk = 1/В і BkTk = 1, тобто співвідношення невизначеності виконується.

Як випливає зі всіх цих виразів і наочно видно на рис. 4.7, при обмеженні частотного діапазону в шумах з'являється певна коваріація між значеннями і чим менший частотний діапазон шумів, тим більше їх радіус коваріації. По суті, обмеження частотного діапазону шумів певним діапазоном еквівалентно фільтрації білого шуму частотним фільтром з відповідною шириною смуги пропускання, при цьому, кореляційна функція імпульсного відгуку фільтру переноситься на шум.

Гауссовській шум виникає при підсумовуванні статистично незалежних білих шумів і має наступну функцію кореляції:

R_x() = a exp(-2²²). (4.22)

Спектральна щільність шумів:

S_x(f) = (a/ ) exp(-f²/2²), -  < f < . (4.23)

Ефективні шумові ширина спектру і час коваріації:

B_k =  /2 = 1.25, T_k = 1/ = 0.4/. (4.24)

Співвідношення невизначеності перетворюється на рівність: BkTk = 1/2.

Гаусівські випадкові процеси переважають в практичних завданнях. Випадковий процес x(t) називається гаусівським, якщо для будь-якого набору фіксованих моментів часу t_n випадкові величини x(t_n) підкоряються багатовимірному нормальному розподілу. Щільність вірогідності миттєвих значень x(t) ергодичного гаусівського процесу визначається виразом:

p(x) = (_x )^-1 exp(-(x-m_x)²/2²). (4.25)

Середнє значення і його оцінка по досить великому інтервалу Т:

m_x = xp(x) dx, m_x  (1/T) x(t) dt.

При нульовому середньому (або при центруванні функції x(t) для спрощення розрахунків) дисперсія не залежить від t і рівна:

_x² = x² p(x) dx.

Оцінка дисперсії при великих Т:

_x²  (1/T) x²(t) dt = S_x(f) df = 2 S_x(f) df = G_x(f) df. (4.26)

Отже, щільність вірогідності гаусівського процесу повністю характеризується спектральною щільністю, по якій можна визначити значення дисперсії процесу. На вигляд спектральної щільності і відповідних їм коваріаційних функцій ніяких обмежень не накладається.