1.2 Дифференциальное уравнение теплопроводности

Рассмотрим поток теплоты в направлении оси х. Плотность потока Q следует рассматривать как функцию координаты х и времени t: Q(х,t), т.к. свойства среды и величины характеризующие тепловой поток могут меняться вдоль направления потока и во времени. Среда, в которой распространяется теплота, характеризуется калорическим уравнением состояния U=U(T), плотностью (х) и коэффициентом теплопроводности (х). Здесь U(T) - внутренняя энергия, заключенная в единице массы вещества, если эта масса нагрета до температуры Т.

Q(x) Q(x+dx) Рис. 2

x x+dx x

Вычислим поток теплоты через мысленно выделенный цилиндр с образующими параллельными оси х и длиной dx (рис. 2). Пусть S - площадь поперечного сечения цилиндра. Количество теплоты, поступающее в цилиндр за время dt через основание с координатой х, равно Q(x)Sdt. Количество теплоты, уходящее из цилиндра за то же время, равно Q(x+dx)Sdt. Так как через боковую поверхность цилиндра теплота не поступает, то полное количество теплоты, поступающее за время dt в цилиндр, равно

(2)

Но эту же теплоту можно представить в виде:

M C_vdT (3)

где C_v - удельная теплоемкость, М= S dx - масса цилиндра.

Приравнивая выражения (2) и (3) и производя сокращения, получим:

ρС_V(дТ/дt) = -дQ/дх . (4)

Подставим выражение (1) для плотности теплового потока в формулу (4):

ρС_V(дТ/дt) = д/дх(λдТ/дх) . (5)

Это уравнение называется дифференциальным уравнением теплопроводности.

Если среда однородна, теплопроводность  - постоянная, то уравнение

теплопроводности можно записать в виде:

дТ/дt = χд² Т/дх² . (6)

где  = / C_v - коэффициент температуропроводности.

Уравнение теплопроводности представляет собой дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка по координате х и первого порядка по времени t. Функция T(x,t) есть функция распределения температуры в среде - неизвестная функция двух переменных, которая находится решением уравнения (5) или (6).

В общем случае в объеме цилиндра длиной dx (рис.2)может выделятся теплота. Для учета этого достаточно в правую часть уравнения (5) прибавить объемную плотность источников теплоты q(X).

1.3 Краевые условия

Чтобы полностью описать тот или иной физический процесс, необходимо кроме самого уравнения, описывающего этот процесс, задать начальное состояние этого процесса (начальные условия) и режим на границе той области, в которой происходит этот процесс (граничные условия). Начальные и граничные условия носят название краевых условий. Краевые условия позволяют выделить из множества решений уравнения единственное, описывающее реальный физический процесс.

Краевая задача на уравнение теплопроводности ставится следующим образом: найти решение уравнения теплопроводности T(x,t), удовлетворяющее заданным начальным и граничным условиям. Теорема единственности утверждает, что при заданных начальных и граничных условиях уравнение теплопроводности имеет единственное решение.

Начальное условие определяет температуру среды в какой-то момент времени (этот момент времени можно принять за начало отсчета времени). Математически начальное условие записывается в виде:

Т(х,0) = f(x), (7)

где f(x) - заданная функция координаты х.

Граничные условия определяют тепловой режим на границе среды. Примеры граничных условий:

а) если на границах среды поддерживается заданное распределение температуры (рис. 1), то

T(0,t) = T₁(t),T(l,t) = T₂(t), (8)

где T₁(t) и T₂(t) - заданные функции времени;

б) если на границах поддерживается заданный поток тепла, то

-дТ/дх = φ₂(t) , (9)

где ₁(t) и ₂(t) - заданные функции времени.

Данные граничные условия носят название граничных условий 1-го и 2-го рода.

Пусть окружающая среда имеет постоянную температуру Т₀, например, тело омывается потоком воды или воздуха постоянной температуры. Благодаря процессу теплообмена возникает тепловой поток через границу между телом и окружающей средой, обусловленный скачком температуры на этой границе.

Закон внешней теплопередачи утверждает: количество теплоты, проходящее за одну секунду через единичную площадку, перпендикулярную к направлению потока теплоты, пропорционально разности температур тела и окружающей среды на границе:

Q = (T-T₀),

где Т - температура тела на его границе, Т₀ - температура окружающей среды,  - коэффициент теплоотдачи.