2. Задачи безусловной оптимизации

Всякая задача оптимизации включает два объекта:

1. целевую функцию – функцию переменных минимальное или максимальное значение которой требуется найти;

2. допустимое множество – непустое множество, на котором эта функция определена.

Точка, в которой функция достигает своего максимального или минимального значения в области называется точкой экстремума.

Постановка задачи безусловной оптимизации

.

В такой постановке допустимым множеством является все пространство .

Точку называют точкой локального максимума (минимума) функции , если существует окрестность точки , такая что для всех точек , выполняется неравенство

. (1)

Если неравенства строгие, точка называется точкой строгого максимума (минимума).

Если неравенства (1) выполняются для всех точек , то точка называется точками глобального (абсолютного) максимума (минимума).

Если функция , определенная на множестве выпуклая (вогнутая), то точка локального минимума (максимума) будет точкой её глобального минимума (максимума).

Необходимое условие экстремума (1-го порядка): если функция имеет локальный экстремум в точке и дифференцируема в точке , то в этой точке каждая частная производная обращается в ноль:

, ….., (2)

Если точка удовлетворяет необходим условиям (2) , то она называется стационарной.

Необходимое условие экстремума (2-го порядка): если функция имеет локальный максимум (минимум) в точке и дважды дифференцируема в точке , то

, . (3)

Достаточное условие экстремума: если функция дважды дифференцируема в точке и

, , (4)

то точка – точка локального максимума (минимума).

Замечания.

1) Условие (3) означает неотрицательную (неположительную) определённость матрицы Гессе. Условие (4) означает положительную (отрицательную) определённость матрицы Гессе. Знакоопределённость матрицы Гессе можно установить с помощью критерия Сильвестра.

2) Выполнение условий (3) ещё не гарантирует наличие условного экстремума в точке . Например, .

, , , точка – стационарная точка.

. В точке главные миноры , , .

Однако, в сколь угодно малой окрестности точки функция принимает как положительные так и отрицательные значения. Например, пусть , тогда , затем, если , тогда в точке локального экстремума нет.

3) Невыполнение условия (4) ещё не означает отсутствие экстремума. Например, .

, , , точка – стационарная точка.

. В точке главные миноры , , .

Однако, для любой окрестности точки выполняется в точке минимум.

4) Точка не является точкой экстремума, если знаконеопределена.

5) В частном случае функции двух переменных достаточные условия формулируются следующим образом. Пусть функция имеет непрерывные частные производные 1-го и 2-го порядков и пусть точка стационарная точка, лежащая строго внутри области задания функции.

Тогда точка

является точкой строго минимума, если в этой точке

, ;

является точкой строго максимума, если в этой точке

, ;

не является стационарной точкой, если в этой точке

.

Для отыскания точек глобального экстремума можно воспользоваться следующим утверждением: если функция непрерывна на и ( ), то она достигает своего глобального минимума (максимума) на любом замкнутом подмножестве.

Схема решения задач безусловной оптимизации

1. Выписать необходимое условие экстремума 1-го порядка

, ….., .

Найти стационарные точки .

2. Проверить выполнение достаточных условий экстремума, используя критерием Сильвестра.

Если все угловые миноры матрицы в точке положительны, т.е.

то точка – точка локального минимума; если угловые миноры четного порядка положительны, а нечетного порядка отрицательны, то точка является точкой локального максимума.

3 . Если достаточные условия экстремума не выполняются, то надо проверить выполнение необходимых условий 2-го порядка. Если матрица (не является неотрицательно определённой), то точка не доставляет локальный минимум. Если (не является неположительно определённой), то точка не доставляет локальный максимум.

4. Выяснить, имеет ли функция глобальный максимум (минимум).

Замечание.

Задача безусловной оптимизации предполагает, что нет никаких ограничений на допустимое множество. Тем не менее, ограничения могут появиться, если функция цели имеет естественную область определения, не совпадающую со всем пространством . Так что необходимо исследовать поведение функции на границах области определения.

Пример 1.

Исследовать на экстремум функцию .

, точка – стационарная точка.

, , – локальный минимум.

Поскольку

, то глобальный минимум в задаче должен достигаться. Значит, точка будет доставлять не только локальный, но и глобальный минимум, .

Пример 2.

Исследовать на экстремум функцию .

, точка – стационарная точка.

, , , в точке экстремума нет.

Пример 3.

Исследовать на экстремум функцию .

Найдем частные производные

, , .

Решаем систему

.

Находим стационарные точки

,

Матрица Гессе имеет вид

, , ,

В точке угловые миноры

, , локальный минимум.

В точке достаточное условие не выполнено, так как , , и то точка не доставляет локальный минимум. Покажем, что в ней нет локального максимума. В сколь угодно малой окрестности точки функция принимает как положительные так и отрицательные значения. Например, пусть , тогда , затем, если , тогда .