3. Задача условной оптимизации
Рассмотрим необходимые и достаточные условия экстремума функции нескольких переменных в задаче ограничениями типа равенств.
Постановка задачи условной оптимизации имеет вид
.
Уравнения называются условиями связи.
Функция имеет в точке имеет условный максимум (минимум) при условиях связи (2), если существует такая окрестность точки , что для любой точки из этой окрестности, координаты которой удовлетворяют уравнениям связи (2), выполняется неравенство
.
Сначала рассмотрим случай двух переменных и одного условия связи
.
Один из методов отыскания условного экстремума состоит в следующем.
Пусть уравнение однозначно определяет в плоскости некоторую гладкую кривую : . Подставляя в функцию вместо функцию , получаем функцию одного аргумента в которой условие связи уже учтено. Экстремум (безусловный) функции будет искомым условным экстремумом.
Пример 1.
.
Из уравнения связи находим
. Подставляем это выражение в целевую функции . Исследуем эту функцию на экстремум.
. Поскольку – минимум. Следовательно, точка доставляет условный минимум функции .
Существует другой способ решения задачи об условном экстремуме.
Пусть функция точка есть точка условного экстремума функции при наличии связи . Допустим, что уравнение связи определяет единственную непрерывно дифференцируемую функцию в некоторой окрестности точки . Считая, что из двух переменных независимой будет только одна , найдем полную производную функции
. В точке экстремума эта производная должна быть равна нулю, что равносильно равенству нулю дифференциала от в точке
. (3)
Из уравнения связи имеем
(4)
Умножая (4) на некоторый неопределённый пока множитель и складывая почленно с (3), будем иметь
.
Выберем значение таким образом, чтобы, например, вторая скобка обращалась в нуль
,
при условии . Тогда в силу произвольности получим .
Таким образом, точка условного экстремума является обязательной стационарной точкой функции
, (5)
называемой функцией Лагранжа.
Отсюда правило (метод Лагранжа) для отыскания условных экстремумов:
1) Проверяем неравенство нулю (условие Якоби);
2) составляем функцию Лагранжа (5);
3) решаем систему трех уравнений
, (6)
из которой находим значения и координаты возможных точек экстремума.
Вопрос о характере условного экстремума решается на основании изучения знака второго дифференциала функции Лагранжа
(7)
для рассматриваемой точки , полученной из (6) при условии, что удовлетворяют уравнению
.
Если , то в точке функция имеет условный максимум, если – условный минимум.
Пусть требуется исследовать методом Лагранжа функцию на условный экстремум при условиях связи
, (задача (1) – (2)).
Рассмотрим функцию Лагранжа
, (8)
где – некоторые константы.
Теорема (необходимое условие Лагранжа условного экстремума). Пусть точка – точка локального экстремума в задаче (1) – (2), функция дифференцируема в точке и (линейно независимы). Тогда существуют числа при которых выполняются равенства
. (9)
Пусть в точке выполнено необходимое условие Лагранжа условного экстремума. Рассмотрим квадратную матрицу порядка (окаймленную матрицу Гессе)
, (10)
– нулевая матрица порядка ,
, .
Теорема (достаточное условие условного экстремума). Пусть функции и дважды дифференцируемы в точке и пусть (линейно независимы), существуют числа такие, что для функции Лагранжа (8) выполняются условия стационарности (9). Тогда
1) если знаки угловых миноров , , . . ., матрицы (10) совпадают со знаком числа , то точка является точкой условного минимума функции при условиях связи ;
2) если знаки угловых миноров , , . . ., матрицы (10) чередуются, причём знак минора совпадает со знаком числа , то точка является точкой условного максимума функции при условиях связи ;
В частности, для двух переменных и одного ограничения:
стационарная точка является точкой максимума, если ;
стационарная точка является точкой минимума, если .
Пример 1.
.
Проверяем условие Якоби
,
Функция Лагранжа в этом случае имеет вид
.
Составляем систему для отыскания стационарных точек
и .
Составляем окаймленную матрицу Гессе
.
Вычисляем
.
Следовательно, точка доставляет условный минимум функции , .
Пример 2.
Найти экстремум функции при условии, что .
Проверяем условие Якоби
,
Точка не удовлетворяет условиям связи, следовательно, методом Лагранжа можно пользоваться без ограничений.
Функция Лагранжа в этом случае имеет вид
.
Составляем систему для отыскания стационарных точек
и , и .
Составляем окаймленную матрицу Гессе
.
Вычисляем
,
с учетом условия ,
.
В точке при
,
следовательно, в этой точке условный min и .
В точке при
,
следовательно, в это точке условный max .
Пример 3.
Найти экстремум функции при условии, что .
В данном случае и будет равен нулю только при , что противоречит условию связи.
Запишем функцию Лагранжа
.
Необходимые условия существования экстремума будут иметь вид
.
Решая эту систему, получим . Есть только одна точка возможного условного экстремума . Окаймленная матрица Гессе в этой точке будет иметь вид
.
В нашем случае , , следовательно, нужно исследовать знаки угловых миноров и .
Имеем:
, .
Поскольку знаки и совпадают со знаком , то согласно достаточному условию в точке имеем условный минимум и значение функции в этой точке .