Проверка нормальности распределения результатов наблюдений группы

При числе результатов наблюдений n<50 нормальность их распределения проверяют при помощи составного критерия.

Критерий 1. Вычисляют отношение

где - смещенная оценка среднего квадратического отклонения, вычисляемая по формуле:

Результаты наблюдений группы можно считать распределенным нормально, если

где и - квантили распределения, получаемые из табл. 1 по n, и , причем - заранее выбранный уровень значимости критерия.

Критерий 2. Можно считать, что результаты наблюдений принадлежат нормальному распределению, если не более m разностей превзошли значение S.

где: S- оценка среднего квадратического отклонения, вычисляемая по формуле

;

- верхняя квантиль распределения нормированной функции Лапласа, отвечающая вероятности P/2.

Значения Р определяются из табл. 2 п.6 выбранному уровню значимости и числу результатов наблюдений.

При уровне значимости, отличном от предусмотренных в табл. 2, значение Р находят путем линейной интерполяции.

В случае, если при проверке нормальности распределения результатов наблюдений группы для критерия 1 выбран уровень значимости , а для критерия 2- , то результирующий уровень значимости составного критерия

В случае если хотя бы один из критериев не соблюдается, то считают, что распределение результатов наблюдений группы не соответствует нормальному.

Термины, встречающиеся в стандарте, и их определения

Неисправленный результат наблюдения – результат наблюдения до введения поправок с целью устранения систематической погрешностей.

Исправленный результат наблюдений - результат наблюдения, получаемый после внесения поправок в неисправленный результат измерения.

Неисправленный результат измерения – среднее арифметическое результата наблюдений до введения поправок с целью устранения систематических погрешностей.

Исправленный результат измерений – результат измерения, получаемый после внесения поправок в неисправленный результат измерения.

Группа результатов наблюдений – совокупность результатов наблюдений, полученная при условиях, которые в соответствии с целью измерения необходимы для получения результата измерения с заданной точностью.

Неисключаемая систематическая погрешность результата измерения - систематическая погрешность, которая остается неустраненной из результата измерения.

1. Порядок обработки и оценка точности прямых равноточных измерений

1.1 Исключение из результатов наблюдений известных систематических погрешностей с применением графического метода.

Обнаружение систематических погрешностей представляет собой сложную задачу. Особенно сложно обнаружить постоянную систематическую погрешность. Для её обнаружения измерения выполняют несколькими различными путями. Часто измерения выполняют путем сравнения результатов измерения одной и той же величины, полученных разными экспериментаторами в разных лабораториях.

Если известно, что все результаты измерений отягощены одинаковой постоянной систематической погрешностью, её исключают из результата измерений путем введения поправки

,

тогда

,

где - результат измерения;

- постоянная составляющая систематической погрешности.

Постоянная составляющая систематической погрешности не может быть ни выявлена, ни тем более, найдена методами совместной обработки результатов измерений. Однако она не может исказить ни показатели точности измерений, характеризующие случайную погрешность измерений, ни результат нахождения переменной составляющей систематической погрешности.

Первичная обработка последовательности промежуточных результатов измерений одной и той же величины заключается в исключении переменной систематической погрешности с целью исправления результатов измерений.

Наличие существенной переменной составляющей систематической погрешности (прогрессирующей, периодической, изменяющейся по какому либо другому неслучайному закону) искажает оценки характеристик случайной погрешности. Поэтому она должна обязательно выявляться, исключаться из результатов измерений и учитываться в оценках систематической погрешности.

Переменная систематическая погрешность может быть выявлена сложными методами дисперсионного анализа. Однако для решения инженерных задач обычно достаточно применить графический метод. Для этого на график по оси ординат наносятся точки с координатами, выражающими значения результатов измерений, а по оси абсцисс – момент времени его получения или порядковый номер результата при равномерном во времени получении результатов. Для наглядности точки соединяются прямыми линиями. На графике проводят плавную линию (кривую), которая выражает тенденцию изменения результата измерения. На рис. 1 выражена прогрессирующая линейно возрастающая по модулю погрешность

Рис.1. Прогрессирующая линейно возрастающая по модулю погрешность.

В этом случае модуль переменной составляющей систематической погрешности определяется по формуле:

∆ci =(∆X /n)i,

где ∆ci - составляющая систематической погрешности для i-того измерения;

∆X - приращение значения измеряемой величины X за n измерений;

i – порядковый номер измерения;

n - количество измерений.

Полученное значение ∆ci исключают из результатов измерений, заменяя исходную последовательность результатов следующей последовательностью

X0i = Xi - ∆ci,

где Xi – исходная последовательность результатов измерений;

X0i – исправленная последовательность результатов измерений.

В других случаях зависимость ∆ci может оказаться нелинейной. Тогда нужно проводить плавную кривую так, чтобы она лучшим образом выражала изменение погрешности в целом.

При невозможности выражения аналитической зависимости ∆ci , её находят для всех точек непосредственно по графику.

1.2 Исключение грубых погрешностей

Если есть подозрения о наличии анормальных измерений, находят значения

и .

Для этого вычисляются среднее арифметическое и среднее квадратическое значения для n измерений по зависимостям:

и .

Значения t1 и t2 сравнивают с табличным значением, имеющим для данного числа n и доверительной вероятности P (уровня значимости q ) определенное и выбранное из таблицы 3.10 приложения 3, значение tг.

Если t1 и t2 больше значения tг, то результаты и считают анормальными и исключают их из дальнейшей обработки.

1.3 Вычисление среднего арифметического исправленных результатов

наблюдений, принимая его за оценку истинного значения измеряемой величины

Необходимо учесть, что среднее значение находят при условии, что результат, содержащий грубую погрешность, в расчет не берется.

1.4 Вычисление оценки среднего квадратичного отклонения результатов измерения

.

1.5 Расчет оценки среднего квадратичного отклонения среднего значения результата измерения по формуле

.

1.6 Определение принадлежности результатов измерений нормальному распределению.

Если число результатов n > 50, используют критерий согласия К.Пирсона χ², при 15 < n < 50 - составной критерий. Уровень значимости выбирается из интервала 0,02 ÷ 0,1. При n < 15 нормальность распределения не проверяется.

Построить гистограмму распределения случайной величины.

Методика определения принадлежности результатов измерений нормальному распределению приведена в приложении 1.

1.7 Определение доверительных границ ε случайной погрешности результата измерения по формуле

,

где t_c - коэффициент, определяемый по таблице 3.1 и 3.2 приложения №3 при доверительной вероятности Р = 0,95 и числу измерений n .