III. Магнитное поле постоянного тока.
§ 30 Магнитное поле линейного тока. Закон Био-Савара-Лапласа.
Магнитное поле обладает свойствами:
Образуется: а) постоянными магнитами
б) движущимися зарядами или токами
в) переменным электрическим полем
Действует с силой на:
а) движущий заряд или прямолинейный элемент с током (рис 1)
- сила Лоренца
- механический момент
б) действует с силой на постоянный магнит
3. Магнитное поле – это вид материи. Обладает энергией.
В любой точке пространства магнитное поле характеризуется силовой характеристикой магнитного поля В– [Тл]. Определяется как сила, действующая на прямолинейный проводник с током длины 1м. с силой тока 1А. перпендикулярно линиям магнитной индукции (рис. 2) или как момент сил Ампера действующий на рамку с током 1 А. площади 1 м2 (линии В лежат в плоскости рамки) (рис. 3).
Принцип суперпозиции.
Рассмотрим линейный ток (поперечные размеры проводника пренебрежительно малы).
Проводник разбиваем на элементы тока (рис. 4).
Для магнитного поля справедлив принцип суперпозиции:
результирующее магнитное поле нескольких токов равно сумме полей каждого из этих токов.
Магнитное поле линейных токов в некоторой точке пространства находится как вектор сумм магнитных полей, создаваемых каждым линейным током в отдельности.
или
Т.е. для нахождения магнитного поля линейного тока необходимо знать магнитное поле элементарного тока.
Закон Био- Савара- Лапласа (-Ампера)
Закон Био- Савара- Лапласа (-Ампера) позволяет рассчитать магнитную индукцию элемента тока в точке А. (рис. 5)
(Для вакуума)
0 = 410-7 Гн/м -магнитная постоянная
Магнитное поле элем. тока I×dl является фундаментальным, т.к. зная магнитное поле элем. тока и принцип суперпозиции можно рассчитать магнитное поле любой системы линейных токов.
Примеры расчета магнитных полей в вакууме.
Поле прямолинейного проводника с током
Замечание.
Для бесконечного прямолинейного проводника a1 = 0 a2 = p Þ
Магнитное поле кругового витка с током на оси.
Графически магнитная индукция изображается в виде линий магнитной индукции
Замечание.
При х = 0 - магнитное поле в центре круглого витка.
Вихревой характер магнитного поля.
Теорема о циркуляции вектора магнитной индукции.
Электрическое поле потенциальное поле
Магнитное поле вихревое поле
Рассмотрим прямолинейный линейный ток.
а) натур. l совпадает с силовой линией магнитной индукции (рис.8)
б) l – произвольный контур (рис. 9)
, если l охватывает ток или = 0.
Теорема о циркуляции вектора В.
Замечание 1. Знак тока в алгебраической сумме выбирают по правилу:
Если и ток Ii одинаково направлены “+” Ii
Если и ток Ij противоположно направлены “-” Ij
Нормаль к контуру определяется правилом правого Буравчика:
Вращать прав. бур. по направлению контура и т. д ...
П ример (на рис.11)
Зам. 2.
Иногда теорема о циркуляции вектора магнитной индукции называется законом полного тока.
Дифференциальная форма. Теорема о циркуляции .
В случае, когда проводящая среда заполняет пространство, в этой среде протекает ток распределенный определенным образом. Для характеристики используют - плотность тока. Рассмотрим замкнутый контур L, охватывающий поверхность S ,n - нормаль к контуру (рис.12).
По теореме Стокса
- теорема о циркуляции в дифференц. форме
или
Замечание.
Ротор поля связан с в данной точке . Экспериментальная проверка – пояс Роговского.
Расчет магнитного поля линейных токов.
Наиболее распространенный расчет – метод непосредственного интегрирования, основанный на законе Био-Савара-Лапласа и принципе суперпозиции магнитных полей. Однако, для некоторых случаев симметричных конфигур. магнитных полей, когда можно выбрать замкнутый контур L таким образом, чтобы одни части контура совпадали с (линиями).
П ример магнитного поля постоянного тока I, текущего по длинному прямому проводу радиуса R.
= const
а) j =E j = const
Линии магнитного поля – окружности с центром на оси провода
(левая часть)
(правая часть)
б) L2 – наружный провод (r R)
(левая часть)
(правая часть)
Пример:
Магнитное поле тороида (провод навитый на каркас, имеющий форму тора)
Из соображений симметрии:
а ) Силовые линии магнитной индукции - окружности
б) В = const вдоль линии L, совпадающей с силовой
(левая часть)
(правая часть)
Магнитное поле идеального соленоида.
Идеальный – без учета краевого эффекта
Соленоид можно рассматривать как тороид ( при R1, R2 ) тогда
а) поле сосредоточено внутри (Внаружн.= 0)
б) поле однородно
(левая часть)
(правая часть)
Замечание.
Если тороид или соленоид будут иметь сердечники с магнитной проницаемостью , то индукция магнитного поля изменится в раз по сравнению с вакуумом.
Теорема Гаусса для .
Магнитный поток - ….
[Ф] = Вб
Теорема:
Поток вектора через любую замкнутую поверхность S равен 0.
Теорема Гаусса для - обобщение ответа – выражает в форме постулата экспериментальный факт, что линии - замкнутые линии (число линий входящих в объем = числу линий выходящих .
Замечание.
Теорема Гаусса для вектора выражает факт, что в природе нет магнитных зарядов (т.е. нет зарядов, на которых начинаются и заканчиваются линии вектора ).
Теорема Гаусса для в дифференциальной форме.
или
Замечание.
Теорема Гаусса – фундаментальный закон для магнитного поля. Она справедлива для постоянных и переменных во времени магнитных полей.
§ 33. Сила Лоренца. Движение заряда в магнитном поле (Е = 0).
Опыт показывает, что магнитное поле порождается движущимися зарядами. Для заряда, движущегося с нерелятивистской скоростью v справедлива формула:
Закон Био-С-Л.
Т.к. электрическое поле, создаваемое зарядом, движущийся с нерелятивистской скоростью , то
- электродинамическая постоянная равна скорости света в вакууме (3 108 м/с).
Сила Лоренца.
Опыт показывает, что сила , действующая на заряд q со стороны магнитного поля имеет две составляющие:
а) силу - электрич. cоставляющая (не зависящую от )
б)
Сила Лоренца справедлива для постоянных и временных магнитных полей при любых скоростях движения.
Замечание.
По действию силы Лоренца на заряд можно определить модуль и направление и .
Магнитная составляющая силы Лоренца FM она не совершает работу и при движении заряженной частицы в магнитном поле она не может изменить ЕК, а изменяет лишь направление .