11.26. Поле заряженной оси

Под заряженной осью понимают весьма тонкий теоретически бесконечно длинный металлический проводник (тонкая проволока). Заряд на единицу длины ее принято обозначать . Электрическая проницаемость среды, окружающей ось, равна . Для нахождения напряженности поля в некото­рой точке, удаленной на расстоянии r от оси (рис. 11.13), проведем через эту точку цилиндри­ческую поверхность так, что ось цилиндрической поверхности совпадает с заряженной осью. При­меним теорему Гаусса. Элементы ds боковой поверхности и напряженность электрического поля Е в любой точке цилиндрической поверхности по направлению совпадают, потому

, или . (11.39)

Рис. 11.13. Напряженность поля Е заряженной оси.

Напряженность в поле заряженной оси изменяется обратно пропорционально расстоянию r точки от оси. Потенциал

(11.40)

изменяется по логарифмическому закону.

11.27. Поле двух параллельных заряженных осей

Пусть одна ось имеет заряд + на единицу длины, другая—заряд -. Возьмем в поле некоторую произвольную точку М (рис. 11.14). Результирующая напряженность поля в ней Е_м равна геометрической сумме напряженностей от обоих зарядов. Расстояние точки М до положительно заряженной оси обозначим через a, до отрицательно заряженной оси — через b. Потенциал есть функция скалярная.

Потенциал точки М

. (11.41)

Уравнением эквипотенциали в поле двух заряженных осей будет являться выражение b/a = const.

Эквипотенциаль будет представлять собой совокупность точек, отношение расстояний которых до двух заданных точек есть величина постоянная.

В геометрии известна теорема Аполлония. Согласно теореме Аполлония геометрическим местом точек, отношение расстояний которых до двух заданных точек есть величина постоянная, является окружность. Поэтому эквипотенциаль в поле двух заряженных осей есть окружность. Рассмотрим, как можно построить ее. Соединим точку М с осями. Проведем биссектрисы внутреннего (аМb) и внешнего (рМа) углов.

Рис. 11.14. Поле двух параллельных заряженных осей.

Точки 1 и 2 пересечения биссектрис с линией, проведенной через заряженные оси, и точка М будут являться тремя точками искомой окружности.

Для нахождения положения центра окружности (точки 0) разделим пополам расстояние между точками 1 и 2.

11.28. Поле двухпроводной линии

Расстояние между осями двух проводов линии (рис. 11.15) обозначим через d, радиус каждого провода через r. Если левому проводу будет сообщен, например, заряд  на единицу длины, а правому заряд -, то в пространстве между проводами возникнет электрическое поле. Заряды проводов распределятся по поверхности с неодинаковой плотностью.

Поверхность каждого провода в отдельности будет являться эквипотенциалью. Внутри проводов E=0. Задача о поле двухпроводной линии сводится к только что рассмотренной задаче о поле двух заряженных осей. Расположим две заряженных оси так, чтобы поверхности проводов являлись эквипотенциальными.

Точки O₁ и O₂ означают геометрические оси проводов. Заряженные оси пусть будут расположены в точках m и n. Из условия симметрии они на одинаковое расстояние х удалены от геометрических осей.

Рис. 11.15. Поле двухпроводной линии.

Запишем условие равенства потенциалов точек 1 и 2 левого провода. Отношение b/a для точки 1 есть не что иное, как

;

отношение b/a для точки 2 равно

.

Из равенства

=

получим

. (11.42)

В последнем выражении знак минус перед радикалом соответствует положению точки n, знак плюс—точке m.

Вместо подсчетов по формуле (11.42) положение заряженных осей (часто их называют электрическими осями проводов) находят путем следующих графических построений.

Проводят общую касательную к проводам (прямая pq), делят расстояние между точками касания пополам (точка s) и проводят окружность радиуса ps. Точки пересечения (m и n) окружности с линией О₁О₂ дают положения электрических осей, т. е. таких осей, на которых надо было бы мысленно сосредоточить заряды проводов, чтобы поверхности проводов являлись эквипотенциалями. Так как поле от двух заряженных осей вне проводов удовлетворяет уравнению Лапласа и в то же время удовлетворяются граничные условия (поверхность каждого провода является эквипотенциалью, на ней E_t=0), то на основании теоремы единственности полученное реше­ние является истинным. Нетрудно убедиться в том, что если d >> r, то х становится много меньше r. При этом электрические и геометрические оси практиче­ски совпадают.