- •Глава четырнадцатая основные уравнения переменного электромагнитного поля
- •14.1. Определение переменного электромагнитного поля
- •14.2. Первое уравнение Максвелла.
- •14.3. Уравнение непрерывности
- •14.4. Второе уравнение Максвелла
- •14.5. Уравнения Максвелла в комплексной форме записи
- •14.6. Теорема Пойнтинга для мгновенных значений
- •14.7. Теорема Пойнтинга в комплексной форме записи
- •14.8. Переменное электромагнитное поле в однородной и изотропной среде
- •Пояснения к решению задач
- •Примеры решения задач
- •Основные формулы.
- •Контрольные вопросы
Глава четырнадцатая основные уравнения переменного электромагнитного поля
14.1. Определение переменного электромагнитного поля
Под переменным электромагнитным полем понимают совокупность изменяющихся во времени и взаимно связанных и обусловливающих друг друга электрического и магнитного полей. Оно определяется двумя векторными величинами - напряженностью электрического поля Е и напряженностью магнитного поля Н. Переменное электромагнитное поле является одним из видов материи. Оно обладает энергией, массой, количеством движения, может превращаться в другие виды материи и самостоятельно существовать в виде электромагнитных волн. Любые возмущения поля в диэлектрике с огромной скоростью, для вакуума равной примерно 3·108 м/с, передаются на большие расстояния.
При исследовании процессов в переменном электромагнитном поле пользуются уравнениями Максвелла. Систему уравнений Максвелла образуют четыре уравнения:
1) уравнение (14.1), выражающее связь между ротором напряженности магнитного поля и плотностью тока в той же точке поля, — первое уравнение Максвелла;
2) уравнение (14.4), которое определяет связь между ротором напряженности электрического поля и скоростью изменения магнитного поля в той же точке поля, — второе уравнение Максвелла;
3) уравнение div B = 0, выражающее принцип непрерывности магнитного потока [оно следует из (14.4) после взятия от обеих частей его дивергенции];
4) уравнение div E = своб/а. выражающее связь между истоком напряженности электрического поля и плотностью свободных зарядов в той же точке поля. Эту систему дополняют уравнением непрерывности и теоремой Пойнтинга.
14.2. Первое уравнение Максвелла.
Первое уравнение Максвелла записывают следующим образом:
. (14.1)
В правой части его имеются две плотности тока: плотность тока по проводимости и плотность тока электрического смещения . Ток электрического смещения возникает в любом диэлектрике, в том числе и в вакууме, при изменении напряженности электрического поля во времени. Ток смещения порождает магнитное поле так же, как и ток проводимости. Хотя природа тока проводимости и тока смещения неодинакова, оба они обладают одним и тем же свойством — вызывать магнитное поле.
Таким образом, смысл первого уравнения Максвелла состоит в том, что всякое изменение электрического смещения во времени в некоторой точке поля (т. е. возникновение в ней тока смещения) на таких же правах, как и ток проводимости, вызывает в этой точке вихрь магнитного поля (rot H), т. е. вызывает вихревое магнитное поле. Если среда однородна и изотропна, то a = const и тогда
.
С током смещения в предыдущих разделах приходилось встречаться неоднократно. Так, известно, что при зарядке конденсатора через него протекает ток. Этот ток протекает через диэлектрик и является током смещения. Если, например, взять незаряженный плоский воздушный конденсатор и подключить его к источнику э.д.с. напряжением U через сопротивление R, то напряжение на обкладках конденсатора будет расти по закону . Так как напряженность электрического поля в плоском конденсаторе Е = uC/d, где d — расстояние между обкладками, то E = . Емкость плоского конденсатора С = .
Ток смещения, протекающий через единицу поверхности сечения диэлектрика, взятой перпендикулярно силовым линиям,
.
Через поверхность S ток смещения в S раз больше, т. е. он равен току проводимости, протекающему по проводникам, соединяющим конденсатор с источником э.д.с.
Отметим, что первое уравнение Максвелла представляет собой закон полного тока в дифференциальной форме.
Убедимся в том, что из закона полного тока следует уравнение (14.1). С этой целью возьмем произвольный контур и составим для него уравнение по закону полного тока. Полный ток, пронизывающий площадь, ограниченную контуром, равен сумме тока проводимости и тока смещения. Поэтому
.
На основании теоремы Стокса . Следовательно,
. (14.2)
Равенство (14.2) должно выполняться при любой площади S, поэтому
.