2.3. Механический принцип относительности и

преобразования Галилея

Как уже отмечалось, существует бесконечное множество инерциальных систем отсчета. В связи с этим возникает вопрос: все ли они равноправны или существует какая-то одна главная, преимущественная (абсолютная) система отсчета. В механике ответ на этот вопрос следует из принципа относительности Галилея, согласно которому во всех инерциальных системах отсчета в замкнутой системе тел (тел, взаимодействующих только между собой и не взаимодействующих с телами, не входящими в эту систему) все механические явления протекают одинаково. Никакими механическими опытами, поставленными «внутри» инерциальной системы отсчета невозможно определить скорость этой системы и тем самым отличить одну инерциальную систему отсчета от другой. В частности, невозможно установить движется ли данная система отсчета равномерно и прямолинейно или покоится. В отношении протекания механических явлений покоящаяся система отсчета совершенно неотличима от равномерно и прямолинейно движущейся. Таким образом, принцип относительности Галилея (называемый также механическим принципом относительности) отрицает существование какой-то преимущественной, абсолютной системы отсчета и устанавливает полную равноправность всех инерциальных систем, их одинаковую применимость для описания механических явлений.

Одно и то же явление можно описывать в разных системах отсчета по-разному, но физическая природа явления остается при этом неизменной. Так, свободное падение тела в неподвижной (лабораторной) системе отсчета является прямолинейным равноускоренным движением, происходящем по закону x = 0, y = gt²/2, z = 0 – если координатную ось Y направить вертикально вниз. Но для наблюдателя в системе отсчета, равномерно и прямолинейно движущейся со скоростью V относительно лабораторной системы вдоль оси X, закон движения будет имеет вид x = Vt, y = gt²/2, z = = 0, т.е. движение по параболе Однако причина падения – притяжение земли при этом одна и та же для любого наблюдателя.

Получим теперь соотношения, связывающие между собой координаты движущейся материальной точки в двух инерциальных системах отсчета.

Рассмотрим две инерциальные системы отсчета S и S′. Одну из них (S) будем считать условно неподвижной, а другую (S′) – движущейся относительно нее вдоль оси X с постоянной скоростью V. Все величины, относящиеся к системе S, будем обозначать буквами без штриха, а к системе S′ – со штрихом. За начало отсчета времени примем момент, когда начала координат О и О′ совпадали. Относительное расположение систем отсчета к моменту времени t показано на рис. 2. Как видно из рисунка

r′ = r – r₀. (2.1)

Но при выбранной относительной ориентации координатных осей обеих систем r₀ = Vt, и тогда

r′ = r – Vt. (2.2)

В проекциях на координатные оси эти соотношение запишется в виде трех скалярных равенств:

x′ = x – Vt, (2.3)

y′ = y, (2.4)

z′ = z. (2.5)

Мы получили формулы преобразования координат при переходе от системы отсчета S к системе отсчета S′. Эти формулы были бы очевидными, если бы длины отрезков, определяющих координаты, измерялись в двух неподвижных друг относительно друга системах отсчета. Но системы S и S′ находятся в относительном движении. Поэтому чтобы равенства (2.1) – (2.5) выполнялись, необходимо предположить, что длина отрезка абсолютна, т.е. одинакова во всех системах отсчета, независимо от их относительного движения. Так, x-координата точки М в системе отсчета S′ измеряется длиной отрезка О′А (x′ = O′A), неподвижного в S′-системе. Длина же этого отрезка О′А в S-системе, по отношению к которой он движется со скоростью V вместе с системой S′, будет OA – OO′ = x – Vt. Предполагая, что длина абсолютна, т.е. одинакова во всех инерциальных системах отсчета, длины этих отрезков равны, и тогда x′ = x – Vt.

В классической механике синхронизация часов происходит так же, как в одной: с помощью бесконечно быстрых сигналов ставится на один и тот же момент времени. А это означает, что момент времени, в который происходит какое-либо событие¹, один и тот же во всех системах, т.е.

t′ = t. (2.6)

Из этого равенства вытекает, что промежутки времени в разных системах отсчета между двумя событиями одинаковы: Независимость времени от координаты свидетельствуют о том, что в классической механике пространство и время можно рассматривать как два различных не связанных между собой понятия.

Рассмотрим теперь вопрос о длине движущегося отрезка. Длиной отрезка называется расстояние между одновременными положениями (засечками) его концов, измеренное наложением масштаба в данной системе отсчета. Это определение годится как для системы, где отрезок покоится, так и для системы, где он движется. В формуле (2.1) r и r₀ – длины покоящихся в неподвижной системе отрезков, r′ – длина движущегося в ней отрезка. Эта длина может быть получена только описанным выше способом, т.е. измерена как расстояние между одновременными засечками его концов. Но моменты засечек одни и те же как в движущейся системе отсчета, так и в покоящейся, т.е. измеряется расстояние между парой одних и тех же точек. Поэтому r′ есть длина отрезка как в неподвижной, так и в подвижной системе, и, следовательно, можно написать равенство (2.1), в котором r и r₀ измерены в неподвижной системе, а r′ – в подвижной. По этой же причине равенство (2.1) можно рассматривать в проекциях как в неподвижной, так и в движущейся системе отсчета. Равенство (2.1) служит основанием для всех кинематических соотношений сложного движения. Таким образом, длины движущегося и неподвижного отрезков равны между собой. Следовательно, длина отрезка, а значит, и масштаб не меняются при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой; длина, ка и промежуток времени, есть инвариант преобразования Галилея.

Соотношения (2.3) – (2.6) называются преобразованиями Галилея. Преобразования Галилея позволяют по известным координатам и времени некоторого события в одной инерциальной системе отсчета, найти координаты и время этого же события в другой инерциальной системе, движущейся относительно первой с некоторой скоростью V.

Системы отсчета S и S′ отличаются друг от друга только направлением скорости относительного движения V. Поэтому чтобы получить формулы преобразования от сиcтемы S′ к системе S нужно только заменить V на –V, а штрихованные величины на нештрихованные и наоборот:

x = x′ + Vt′, (2.7)

y = y′, (2.8)

z = z′, (2.9)

t = t′. (2.10)

Дифференцируя равенства (2.3) – (2.5) по времени, получим формулы преобразования компонент скорости движущейся материальной точки:

v′_x = v_x – V, v′_y = v_y, v′_z = v_z.

Для вектора скорост2и можно записать

v′ = v – V. (2.11)

Формулу (2.11) называется формулой или классическим законом преобразования скоростей. Она применима при переходе от системы S к системе S′. Формула обратного перехода (S′ → S) получается из (2.11) заменой (–V → V):

v = v′ + V. (2.12)

Как видим, скорости тела в различных системах отсчета отличаются друг от друга на скорость движения самой системы отсчета.

Физические величины, которые при преобразованиях Галилея остаются неизменными называются инвариантами преобразований Галилея. Среди основных инвариантов классической механики является пространственный интервал l₁₂, представляющий собой расстояние между двумя пространственными точками:

Инвариантом является также и относительная скорость тела: ∆v′ = ∆v.

И ускорение тела одинаково во всех инерциальных системах отсчета: a′ = a, т.е. тоже является инвариантом преобразований Галилея. Поэтому если, например, в системе S′ тело движется без ускорения, то и в системе S его ускорение равно нулю: при a′ = 0 имеем a = 0. Так и должно быть в соответствии с определением инерциальных систем отсчета.

В классической механике время и длина абсолютны не только по отношению к инерциальным системам отсчета, но и по отношению к системам, движущимся друг относительно друга с ускорением.