- •Глава 6. Дифференциальное исчисление
- •§1. Производная функции
- •Правила дифференцирования
- •§2. Задачи, приводящие к понятию производной функции
- •§3. Дифференциал функции
- •§4. Основные теоремы о дифференцируемых функциях
- •§5. Исследование функций на монотонность и экстремум
- •Задачи на экстремум.
- •§6. Исследование функции на вогнутость и точки перегиба
- •Построение графиков функций
- •Упражнения
§5. Исследование функций на монотонность и экстремум
В данном пункте описаны основные условия исследования функций на монотонность и экстремум с помощью производной. Эти условия разделяются на необходимые и достаточные.
Теорема 3 (условие постоянства функции). Для того чтобы в интервале (a; b) функция f(x) была постоянной, необходимо и достаточно, чтобы ее производная равнялась нулю для всех точек x из (a; b).
1). Доказательство необходимости. Пусть функция f(x) постоянна на (a; b), тогда, по первому правилу дифференцирования, ее производная равна 0. Это означает, что необходимость доказана.
2). Доказательство достаточности. Пусть f'(х) = 0 для всех точек x из (a; b). Берутся произвольные точки x1, x2 из (a; b), и пусть для определенности x1< x2. К промежутку [x1; x2] применяется теорема Лагранжа: существует точка x0 из (x1; x2) такая, что f(x2) f(x1) = (x2 x1)f (x0). Но, по условию, f'(x0) = 0, следовательно, f(x2) f(x1), т.е. функция f(x) постоянна на (a; b). Это означает, что достаточность доказана. Теорема доказана.
Теорема 4 (необходимое условие монотонности функции). Пусть в интервале (a; b) функция f(x) дифференцируема. Тогда:
а) если f(x) возрастает, то ее производная в (a; b) не отрицательна, т.е. f (x) 0;
б) если f(x) убывает, то ее производная в (a; b) не положительна, т.е. f (x) 0.
Доказательство. а). Пусть функция f(x) возрастает в (a; b), т.е. для любых x1, x2 из (a; b) выполняется соотношение: x1 < x2 f(x1) < f(x2). Тогда, для указанных точек x1, x2 следующее отношение положительное:
Отсюда следует, что производная f (x1)0. Утверждение а) доказано. Аналогично доказывается утверждение б).
Теорема 5 (достаточное условие монотонности функции). Пусть в интервале (a; b) функция f(x) дифференцируема. Тогда:
а) если f (x) > 0 на (a; b), то f(x) возрастает на (a; b);
б) если f (x) < 0 на (a; b), то f(x) убывает на (a ; b).
Доказательство. а). Пусть f (x) > 0 на (a; b) и точки x1 , x2 из (a; b) такие, что x1 < x2 . По теореме Лагранжа, существует точка x0 из (x1; x2) такая, что f(x2) f(x1) = (x2 x1)f (x0). Здесь правая часть равенства положительная, поэтому f(x2) f(x1) > 0, т.е. f(x2) > f(x1) . Это означает, что f(x) возрастает на (a; b). Утверждение а) доказано. Аналогично доказывается утверждение б).
Пример 9. Функция у = х3 всюду возрастает, так как с ростом значений х возрастают кубы этих значений. Производная этой функции у= 3х2 всюду неотрицательная, т.е. выполняется необходимое условие монотонности.
Пример 10. Найти промежутки возрастания и убывания функции у = 0,25х4 0,5х2.
Решение. Находится производная данной функции у = х3 х, и строятся промежутки, в которых х3 х положительная или отрицательная. Для этого сначала находятся критические точки, в которых у = 0: х3 х = 0 х(х + 1)( х 1) = 0 х1 = 0, х2 = 1 х3 = 1. Эти точки разбивают числовую ось на 4 промежутка:
+ + X
2 1 0 1 2 3 +
Черт.36.
В общем случае, для определения знаков производной берут по одной точке в каждом промежутке и вычисляют значения производной в этих точках. Но иногда достаточно взять только одну точку в крайнем правом промежутке, определить знак производной в этой точке, а в остальных промежутках знаки чередовать. В данном примере пусть х = 2, тогда у(2) = 23 – 2 = 6 > 0. В правом интервале ставится знак +, а затем знаки чередуются. Получено у > 0 на промежутках (1; 0) и (1; + ), следовательно, исследуемая функция на этих промежутках возрастает. Далее, у< 0 на (; 1) и (0; 1), следовательно, исследуемая функция на этих промежутках убывает. Ниже на чертеже 37 построен график этой функции.
Определение 3. 1). Точка хо называется точкой максимума функции f(x), если существует интервал (a; b), содержащий хо, в котором значение f(xо) наибольшее, т.е. f(xо)> f(x) для всех х из (a; b).
2). Точка хо называется точкой минимума функции f(x), если существует интервал (a; b), содержащий хо, в котором значение f(xо) наименьшее, т.е. f(xо) f(x) для всех х из (a; b). Точки максимума и минимума называются точками экстремума.
Теорема 6 (необходимое условие экстремума функции). Если хо является точкой экстремума функции f(x) и существует производная
f (x0), то f '(x0) = 0.
Доказательство аналогично доказательству теоремы Ролля.
Точка x0, в которой f (x0) = 0 или f (x0) не существует, называется критической точкой функции f (x). Говорят, что критические точки подозрительны на экстремум, т.е. они могут быть точками максимума или минимума, но могут и не быть ими.
Теорема 7 (достаточное условие экстремума функции). Пусть f(x) дифференцируема в некотором интервале, содержащем критическую точку хо ( кроме, быть может, самой точки хо). Тогда:
а) если при переходе через хо слева направо производная f (x) меняет знак с + на , то хо является точкой максимума функции f (x);
б) если при переходе через хо слева направо производная f (x) меняет знак с на, то хо является точкой минимума функции f (x).
Доказательство. Пусть выполнены все условия пункта а). Возьмем точку х (из указанного интервала) такую, что х < хо, и применим теорему Лагранжа к интервалу (х; хо). Получим: f(x0) f(x) = (x0 x)f (x1), где x1 – некоторая точка из (х; хо). По условию, f(x1) > 0 и (x0 x) > 0, поэтому f(x0) > f(x) . Аналогично доказывается, что для любой точки х > хо тоже f(x0) > f(x). Из этих утверждений следует, что – точка максимума, утверждение а) доказано. Аналогично доказывается утверждение б).
Пример 11. В примере 9 показано, что функция у = х3 всюду возрастает, следовательно, она не имеет экстремумов. Действительно, ее производная у' = 3х2 равна нулю только при хо = 0, т.е. в этой точке выполняется необходимое условие экстремума функции. Но при переходе через 0 ее производная у' = 3х2 не меняет знак, поэтому хо = 0 не является точкой экстремума этой функции.
Пример 12. В примере 10 показано, что функция у = 0,25х4 0,5х2 имеет критические точки х1 = 0, х2 = 1, х3 = 1. На чертеже 34 указано, что при переходе через эти точки ее производная меняет знак, следовательно, х1, х2, х3 точки экстремума, при этом х1 = 0 точка максимума, а х2 = 1, х3 = 1 точки минимума.
Далее, делается чертеж к этому примеру. Функция f(x) = 0,25х4 0,5х2 исследуется на четность: f(x) 0,25(х)4 0,5(х)2 f(x), следовательно, эта функция четная, и ее график симметричен относительно оси ОY. Строятся найденные выше точки графика и некоторые вспомогательные точки, лежащие на графике, и они соединяются плавной линией.
y x y
1,5 0,14
1 0,25
y = 0,25x4 0,5x2 0,5 0,11
0 0
1 0 max 1 х 1/3 –0,14 A B
0,25
min min
Черт.37.
Теорема 8 (второе достаточное условие экстремума). Пусть х0 – критическая точка функции f(x), и существует производная второго порядка f(х0). Тогда:
a) если f ( х0) < 0, то х0 – точка максимума функции f(x);
б) если f (х0) > 0, то х0 точка минимума функции f(x).
Доказательство этой теоремы не рассматривается (см. ).
Пример 13. Исследовать на экстремум функцию y = 2x2 x4.
Решение. Находится производная y и критические точки, в которых
y= 9: y= 4x 4x3; 4x 4x3 = 0 x1 = 0, x2 = 1, x3 = 1 критические точки. Находится производная второго порядка y и вычисляются ее значения в критических точках: y= 4 –12х2; y(0) = 4, y(1) = –8, y(1) = –8. Так как y(0) > 0, то x1 = 0 точка минимума; и так как y(1) < 0, y(1) < 0, то x2 = 1, x3 = 1 точки максимума данной функции.
Абсолютными экстремумами функции на сегменте [a; b] называются наибольшее и наименьшее значения f(x) на [a; b]. Эти экстремумы достигаются или в критических точках функции f(x), или на концах сегмента [a; b].
Пример 14. Определить наибольшее и наименьшее значения функции у = х2lnx на промежутке [0,5; e] .
Решение. Находится производная данной функции и ее критические точки: у = 2xlnx + x2(1/x) = x(2lnx +1); x(2lnx +1) = 0 а) х1 = 0; б) 2lnx + 1 = 0 ln x =0,5 х2 = e0,5 = 1/e 0,607. Критическая точка х1 = 0 не входит в рассматриваемый промежуток [0,5; e] , поэтому находятся значения функции в точке х2 = e и на концах а = 0,5, b = e. у(e) = (e0,5)2ln(e0,5) = e1(0,5) = 0,5/e 0,184; у(0,5) = 0,25ln0,5 0,25(0,693) = 0,17325; у(e) = e2lne = e217,389. Выбираются наибольшее и наименьшее среди найденных значений: наибольшее значение 7,389 в при х = е, наименьшее значение 0,184 в при х = e0,5.