Упражнения

1. Найти производные функций.

1). y = x⁵; 2). y = 0,25x⁴  x³ + 0,5x²  2; 3). y = x(x + 2);

4). y = 2x^4  5x^2; 5). y = 3x^2  4x^1; 6). y = 0,75xx;

7). y = 6x^4/3 ; 8). y = 2x³ + 3x⁵; 9). y = (4x-2) ^. (x²+3x-2);

10). y = (4x² + 4x +1) ^. (4x – x²); 11). e^x. ln x; 12). y = x^2. ln x;

13). y = x^4. 2^x; 14). y = 3x³lnx x³; 15). y = (x² +2x + 2)^. e^x;

2 0). y = ln²x ; 21). y = (x +1)⁴; 22). y = (1 x²)⁵; 23). y = ln(x² – 2x);

2. Составить уравнение касательной к кривой y = f(x) в точке х₀:

1) у = 5x³ + 2x² х + 3, х_о = 2; 2) у = x/(x + 2), х_о = 0;

3) у = x³ + x +5, х_о= 1; 4) у = 1/(х + 3), х_о = 2.

3. Составить уравнение касательной к кривой y = f(x) параллель-

ной данной прямой ax + by + c = 0:

1) у = x³ +1, у 3х + 1 = 0; 2) у = х² – 4х, 2x  у 2 = 0;

3) у = е ^х, х + у = 0; 4) у = х² – х 1, 5x  у 1 = 0.

3. Составить уравнение касательной к кривой y = f(x) перпенди-

кулярной данной прямой ax + by + c = 0:

1) у = 3x x², х + 2у = 1; 2) у = ln (x 1), х + у = 1.

3) у = х² – 4х, x  4у 2 = 0; 4) у = х² – х 1, x  у 1 = 0.

3. Проверить, является ли функция y = f(x) решением данного

дифференциального уравнения:

1) у – = х, у = 2х³ – х²; 2) х у+ у = lnх +1, у = lnх;

3) x^. y = y (1+ ln(y/x)), y = x^. e ^x; 4) y = y^. x + 1/y’, y = 2x + 0,5.

3. Найти приращение y и дифференциал dy функции:

1) у = x² + x при х = 1 и х = 0,04; 2) у = x³ 8x при х = 2 и х = 0,01.

3. Вычислить приближенно с помощью дифференциала:

1) 5; 2) 105; 3) 65; 4) 33; 5) 1,006.

8. Зависимость расхода автомобилем бензина у (л) на 100 км пути в зависимости от скорости х (км/ч) описывается функцией у = 20 0,4х + 0,005х². Определить наиболее экономичную скорость.

9. При плавании судна суточные расходы у (тыс.руб./cут.) выражаются через его скорость х (км/сут.) формулой у = 320/x + 0,02х². Найти скорость судна, при которой плавание будет наиболее экономично.

10. Себестоимость продукции С (млн.руб.) описывается функцией С = 250х³ + 25х² + 4,3х + 0,05, где х (тыс.ед.) - объем продукции, выпускаемой за день. Прибыль определяется как разность между выручкой от реализации и ее себестоимостью. Определить при каком объеме выпуска продукции прибыль будет максимальной, если продукция реализуется по цене 10 тыс.руб за 1 ед. Вычислить прибыль.

11. Определить размеры открытого бассейна с квадратным дном объемом 32 м³ так, чтобы на облицовку его стен и дна пошло наименьшее количество материала.

12. Консервная банка данного объема V имеет форму цилиндра. Каково должно быть отношение ее размеров x ( x = h /d , где h  высота и d  диаметр), чтобы на ее изготовление пошло минимальное количество жести?

13. Из имеющихся досок можно построить забор длиной 200 м. Определить размеры максимального по площади участка прямоугольной формы, прилегающего к стене дома, который можно огородить этими досками.

14. Определите наибольшее и наименьшее значения функции y = f(x) на заданном отрезке [a; b].

1) у = х³  3х + 3 на [3; 1,5] ; 2) у = х⁴ 8х² + 3 на [2; 2];

3) у = (х1)/(х+1) на [0; 4]; 4) у =4 х²) на [2; 2] ;

5) у = 3х х³ на [2; 3] .

15. Для функции y = f(x): a) найти область определения и выяснить поведение функции на бесконечности, б) определить четность или нечетность, в) найти промежутки монотонности и точки экстремума, г) определить направление вогнутости и найти перегиба; д) найти точки пересечения графика с осями координат, е) построить график.

1) у = х³ 4,5х² + 6х; 2) у = 0,25х³ х² 4х + 6; 3) у = 0,125(х +2)(х4)²;

4) у = х³ + 0,25х⁴; 5) у = 0,5х²(х²  4); 6) у = ; 7) у = .

Измеряется скорость химической реакции изменением кон-

центрации реагирующих веществ в единицу времени.

Пусть C1 – это количество реагирующих веществ во времени t1; а C2 –

количество реагирующих веществ во время t2. Тогда

V = (C2 – C1)(t2 – t1) = Ct.

Так определяется средняя скорость. Но скорость изменяется непре-

рывно, и истинная скорость химической реакции находится как предел

средней скорости при t →, т.е.

lim Ct = dCdt = V.

t→0

204