Раздел 10 Квадратичные формы
Что называется билинейной формой? Что называется матрицей билинейной формы? Что называется рангом билинейной формы? Какая билинейная форма называется симметрической?
Что называется квадратичной формой? Каким особым свойством обладает матрица квадратичной формы? Что называется рангом квадратичной формы? Какая квадратичная форма называется вырожденной (невырожденной)?
Что называется полярной билинейной квадратичной формой для данной квадратичной формы? Какая существует связь между квадратичной формой и полярной билинейной формой для данной квадратичной формы?
Как представить билинейную и квадратичную форму с помощью матриц? Связь между матрицами билинейных (квадратичных) форм при невырожденных преобразованиях: записать и обосновать.
Какая квадратичная форма называется канонической? Какая связь между числом отличных от нуля коэффициентов в квадратичной форме канонического вида и рангом формы?
Опишите метод Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду.
Сформулируйте и докажите основную теорему о квадратичных формах.
Сформулируйте и докажите закон инерции квадратичных форм.
Какая квадратичная форма называется положительно определенной? Какая квадратичная форма называется отрицательно определенной? Какие миноры называются главными минорами квадратичной формы? Сформулируйте и докажите критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной формы.
Сформулируйте алгоритм приведения квадратичной формы к каноническому виду (к главным осям) с помощью ортогонального преобразования.
6.2 Тесты проверки уровня усвоения знаний Вариант 1
1.
Равенство
является справедливым при к
равном:
А) –125; В) 125; С) 5; Д) –5; Е) ответ не указан.
2.
Если
,
то ВС равно:
А)
определить нельзя; В)
;
С)
;
Д)
;
Е) ответ не указан.
3.
Система
несовместна
при:
А) =1; В) +2; С) 0; Д) =0; Е) ответ не указан.
4.
Длины диагоналей параллелограмма,
построенного на векторах
и
,
равны:
А) 6; 14; В) 5; 10; С) 2; 8; Д) 6; 11; Е) ответ не указан.
5.
Найти координаты вектора
,
коллинеарного вектору
,
при условии
.
А) {6,3,-3}; В) {2,1,-1}; С) {1, ½, -1/2}; Д) {-1, -1/2; ½}; Е) ответ не указан.
6.
Найти уравнение прямой, проходящей
через точку М0
(2,0,-3) параллельно прямой
,
имеет вид:
А)
;
В)
;
С)
;
Д)
; Е) ответ не указан.
7.
Доказать, что оператор А:
является линейным и найти его матрицу
в исходном базисе:
А)
;
В)
;
С)
;
Д)
;
Е) ответ не указан.
8.
Известно, что векторы
образуют базис. Найти координаты вектора
в этом базисе.
А) {2,-2,1}; В) {-1,2,2}; С) {-1,-2,2}; Д) {3, 4,-1}; Е) ответ не указан.
9.
Найти
,
если
А) 32 –40i; В) 40-32i; С) 5+12i; Д) 12+5i; Е) ответ не указан.
10.
Найти площадь параллелограмма,
построенного на векторах
; если
А) 15; В) 10; С) 6; Д) 4; Е) ответ не указан.
11.
Уравнение плоскости, проходящей через
точку А(1,-1,8) перпендикулярно вектору
,
где В(- 4,- 3,10), С(- 1,- 1, 7); имеет вид:
А) 3(x - 1)+ 2(y + 1) –3(z - 8)=0; В) 3(x + 1) +2(y - 1) –3(z + 8) =0; С) 3x+2y-3z=0;
Д) определить нельзя; Е) ответ не указан.
12.
Найти
А)
1; В)
;
С)
;
Д) 207; Е) ответ не указан.
13.
Точка пересечения прямой
и плоскости
имеет
координаты:
А) (2,3,-1); В) (1,2,3); С) (0,3, 0); Д) определить нельзя; Е) ответ не указан.
14.
Ранг матрицы
равен:
А)1; В) 2; С) 3; Д) 0; Е) ответ не указан.
15.
Матрица
в базисе из собственных векторов имеет
вид:
А)
;
В)
;
С)
;
Д)
;
Е) ответ не указан.
16. Размерность линейного пространства решений системы
равна:
А)1; В) 2; С) 3; Д) 4; Е) ответ не указан.
17.
Уравнение
задает на плоскости кривую, называемую:
А) окружностью с центром в точке (1; -2); В) эллипсом, С) гиперболой; Д) параболой; Е) ответ не указан.
18.
Уравнение
приводится к каноническому виду с
помощью преобразований:
А)
В)
С)
Д)
Е) ответ не указан.