4. Делители

В этом пункте будем считать, что многочлены делятся друг на друга без остатка.

Свойства.

1. Если многочлены и делятся на многочлен , то их сумма и разность также делятся на .

2. Если один из сомножителей (многочлен или ) делится на , то и произведение также делится на .

3. Пусть и – многочлены одной степени. Если и , то , где .

Пример. Пусть . Тогда , и, следовательно, .

5. Наибольший общий делитель двух многочленов

Наибольшим общим делителем двух многочленов (НОД) называется такой их общий делитель, который делится на любой другой общий делитель и имеет старший коэффициент, равный единице.

Теорема. НОД двух многочленов существует и определяется единственным образом.

Для нахождения НОД пользуются алгоритмом Евклида.

6. Алгоритм Евклида

Пусть даны многочлены и и степень

,

,

,

…………………………..

.

Так как степени остатков все время понижаются, то в этой цепочке последовательных делений мы дойдем до такого места, на котором деление совершится нацело, и поэтому процесс деления остановится.

Тот остаток , на который нацело делится предыдущий остаток , и будет наибольшим общим делителем и (с учётом того, что коэффициент при старшей степени должен быть равен единице).

Пример. Пусть , тогда .

Теорема. Для любых многочленов и степени больше или равной единице существуют такие многочлены и , , что

где .

Пример. Найти НОД двух многочленов , и выразить его с помощью равенства , где .

I способ. .

Таким образом,

.

Таким образом, , , .

II способ. Найдем методом неопределенных коэффициентов и . Так как , то .

Выпишем коэффициенты при соответствующих степенях :

.

Таким образом, , , , .

№ 578 [1]. Пользуясь алгоритмом Евклида, подобрать полиномы и так, чтобы , где – наибольший общий делитель и :

f) , .

Заметим, что

и, следовательно, .

6. Основная теорема алгебры многочленов

Число называют корнем многочлена , если .

Теорема Безу. Остаток от деления многочлена на линейный множитель равен .

Следствие. Число – корень многочлена тогда и только тогда, когда делится на без остатка ( ), то есть .

Число назовём корнем кратности многочлена , если , где .

Утверждение. Если – корень кратности , то , , …, , .

Основная теорема алгебры многочленов. Всякий многочлен с комплексными коэффициентами степени больше или равной единицы имеет по крайней мере один комплексный корень.

Следствие 1. Многочлен -й степени с комплексными коэффициентами имеет ровно комплексных корней, причем каждый корень считается столько раз, какова его кратность.

Следствие 2. Если – различные корни многочлена , то делится без остатка на выражение . Поэтому многочлен -й степени не может иметь более корней.

Следствие 3. Если два многочлена и степени меньше или равной совпадают в более чем в точках, то эти многочлены равны.

Следствие 4. Многочлен с действительными коэффициентами разлагается на множители 1-й и 2-й степени с действительными коэффици-

ентами, причем многочлены 2-й степени неприводимы:

,

где .

Утверждение. Если – многочлен с действительными коэффициентами и – его корень, то – также корень, причем той же кратности, что и .

Утверждение. Рациональные корни многочлена с целыми коэффициентами – целые.

Утверждение. Все целые корни многочлена с целыми коэффициентами являются делителями свободного члена.

Утверждение. Рациональные корни многочлена с целыми коэффициентами ищем в виде , где – делитель , – делитель , и взаимно просты, , .

Пример 1. Найти все целые корни многочлена . Корнями могут быть делители 6: .

Для проверки воспользуемся схемой Горнера.

	1	–4	1	6
1	1	–3	–2	4
–1	1	–5	6	0
–2	1	–6	12	–18
2	1	–2	–3	0
3	1	–1	–2	0

Таким образом, корни многочлена 2, 3, –1.

З а м е ч а н и е. Для многочленов третьей степени достаточно найти хотя бы один корень, так как потом можно будет перейти к квадратному уравнению, коэффициенты которого записаны в схеме Горнера в строке, соответствующей данному корню (см. п. 7).

Например, для корня квадратный трехчлен имеет вид .

Пример 2. Найти рациональные корни многочлена .

Заметим, что , , поэтому натуральные делители 4 – это числа 1, 2, 4, а делители (– 1) – числа . Поэтому рациональные корни уравнения надо искать среди чисел . Проверим, какие из них нам подходят, применяя схему Горнера (см. п. 7).

	4	8	1	–3		–1
–1	4	4	–3	0		–1
1	4	12	13	10		9
	4	6	–2	–2		0
	4	4	–4	0
	4	2	–5

Таким образом, – корень кратности 2, причем . Решая квадратное уравнение

, найдем оставшиеся корни .